Verliefde Kevers
Dit raadsel is voor een natuurkundige makkelijker op te lossen dan voor een wiskundige. De wiskundige heeft vast de neiging de vorm van de kromme die de kevers lopen te onderzoeken (een "achtervolgingskromme"). Maar dat is helemaal niet nodig!
Het enige dat je je moet realiseren is dat de kevers elk moment zich bevinden op de hoekpunten van een vierkant. Dat vierkant wordt steeds kleiner en "draait" naar het middelpunt toe.
Maar als de kevers elk moment op de hoekpunten van een vierkant zitten dan staan hun snelheden op elk moment loodrecht op elkaar. Dat betekent dat hun snelheid volledig "benut wordt" om de afstand tot de ander te verkleinen. Het is voor elke kever net alsof de ander gewoon stilzit! Immers hij/zij ziet de ander even snel dichterbij komen als het geval zou zijn geweest als de ander stil zou zitten.
Daarom zal op het moment van ontmoeten elke kever gewoon de lengte van de zijde van het vierkant hebben afgelegd.
10 dus.....
Achtervolgingskrommen
En toch kan de wiskundige dit probleem ook wel oplossen natuurlijk. Het algemene geval van achtervolgingskrommen ziet eruit als hiernaast.
V is de vluchter en A de achtervolger. Als de achtervolger in een punt P is, dan is hij gericht naar de vluchter, dus de raaklijn aan de grafiek van A in P snijdt de grafiek van V in het punt Q waar de vluchter op datzelfde moment is.
Dat betekent dat voor curve A geldt:
 
Als we deze uitdrukking differentiëren naar x dan krijgen we (met een paar keer de productregel):
ofwel 
vergelijking (1)
Dat zijn nog een boel onbekenden. Een extra verband is het feit dat we de snelheden van beiden kennen.
Stel  vA = c • vB
Dan geldt  (dx2 + dy2) = c2 • (dm2 + dn2)
ofwel:
vergelijking (2)

Verder wordt de functie  m = f(n)  (het pad van de vluchter) bekend verondersteld.
Door in de laatste vergelijking  dn/dx te vervangen door de uitdrukking van de vergelijking daarboven hebben we een differentiaalvergelijking voor y(x).
En dan maar hopen dat die op te lossen is.....
Eerst maar een eenvoudig probleem: de vluchter volgt een verticale lijn. 
Dus  m = a en dm/dx = 0
vergelijking (1) wordt dan   
invullen in (2): 

Dat is een differentiaalvergelijking voor y(x) die op te lossen is. Neem  eerst  w = dy/dx dan geeft dat:
Dat is een eerste-orde differentiaalvergelijking voor w(x)
De bijbehorende beginwaarden zijn  x(0) = 0  en  w(0) = 0  (helling en positie in het begin zijn beide nul).
Deze vergelijking is op te lossen (niet erg makkelijk trouwens). De oplossing is (voor c ¹ 1):
Daarin is a = de beginafstand.
Hoe we aan dit monster komen wil je vast liever niet weten. 
(Voor de freaks staat hier de afleiding). 

Wat hebben we hier in vredesnaam aan? Waarom staat deze belachelijke vergelijking hier?
Voor c < 1 zal de achtervolger de voortvluchtige nooit inhalen.
Voor c > 1 wél. Dat gebeurt uiteraard als x = a
Invullen geeft:


Maar nog interessanter wordt het als we de vraag omdraaien!
Voor welke c haalt de ene kever de andere bij y = p in?
Ach, laten we de boel dan meteen maar wiskundig zo mooi  mogelijk maken: Voor welke c haalt de een de ander in bij y = a ?
Je zult het zó wel niet geloven, dus reken het maar na, maar er komt uit:  c = 1/2 + 1/2Ö5  
JAWEL op een volledig onverwachte plaats duikt hier de GULDEN SNEDE   f   weer op!
Zomaar!!!!
In Praktijk
FLAUWEKUL hoor ik je al denken. Wat hebben we hier nou aan? Dat zijn toch geen dingen die in het dagelijks leven voorkomen?
Wie heeft er nou ooit zoiets als een "Achtervolgingskromme" in praktijk gezien?????
En toch kom je ze echt dagelijks tegen!
Als je tenminste maar een beetje oplet......
Elke keer als je op je fiets stapt produceer jij zelf een achtervolgingskromme!!!!!
Bekijk de tekening hieronder maar eens.
Het zijn de sporen van een fiets die door het zand gereden heeft.
Twee interessante vragen: 
1.  Welk spoor was van het voorwiel en welk spoor van het achterwiel?
2.  Welke kant ging de fiets op? Naar links of naar rechts?

Kun je deze vragen als echte wiskunde-detective oplossen?..........
De eerste vraag is makkelijk te beantwoorden: omdat het stuur aan het voorwiel zit reageert het voorwiel het "heftigst". Het achterwiel volgt de bewegingen van het voorwiel. Probeer het zelf maar eens en rij met je fiets over het midden van een fietspad, zigzaggend om de witte strepen. (zoals je vroeger als klein jongetje of meisje vaak deed; geef het maar toe).
Het achterwiel beweegt veel rustiger dan het voorwiel.
Laten we onze sporen hierboven maar even kleuren, het "buitenste" spoor het voorwiel, het "binnenste" het achterwiel.
Maar nu de lastigere vraag: 
welke kant reed de fiets op?

Het antwoord zit eigenlijk al verborgen in de de zin "Het achterwiel volgt de bewegingen van het voorwiel" Wij als achtervolgingskrommen-deskundigen weten dan meteen dat op elk moment de raaklijn aan de kromme van het achterwiel (= richting van het achterwiel) steeds gericht is op de plaats van het voorwiel op dat moment.
Nou, dan tekenen we toch gewoon het bovenaanzicht van de fiets? We kiezen een punt van de achterwielkromme, trekken de raaklijn eraan en snijden die met de voorwielkromme. Dat geeft precies de positie van de fiets.
Hieronder is dat zowel van links-naar-rechts  als van rechts-naar links gebeurd.
De fiets is geel.
En wat blijkt: de bovenste figuur geeft je reinste flauwekul. Er is vijf keer een gele fiets getekend, maar die is steeds van verschillende lengte!!!!
De onderste figuur geeft tenminste vijf fietsen die tijdens het rijden even lang blijven, en dat doen fietsen meestal.....
Conclusie: deze fiets reed van links naar rechts!
Terug naar de kevers
We zijn intussen afgedwaald van kevers naar fietswielen.
Terug naar het oorspronkelijke probleem. Daar ging het niet om één vluchter en één achtervolger, maar om vier vluchters-achtervolgers tegelijk.
Laten we ook dit probleem systematisch aanpakken.....

Eerst maar eens het eenvoudige geval van 2 kevers:
Oké, ik geeft het toe; deze is te simpel.  Ze ontmoeten elkaar halverwege en leggen beide afstand 0,5a af.
Het geval van drie kevers is meteen moeilijk:
Uit symmetrie-overwegingen volgt dat de drie kevers zich steeds op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek bevinden. Laten we het pad van de onderste twee kevers bekijken:
Stel dat zij zich op punt A(p,q) en B(r,s) bevinden (met de oorsprong midden in de driehoek).
Dan geldt  (noem d de afstand van de kevers tot het midden van de driehoek):
p = d • cosa en  q = d • sina

r = d • cos(120 + a) 
= d • (cos120cosa - sin120sina) 
= (-1/2p - 1/2Ö3q) • d

s = d • sin(120 + a) 
= d • (sin120cosa + cos120sina)  
=(1/3Ö3p - 1/2q) • d
Het feit dat de richting van de kever in A naar B toe is, vertaalt zich als: 
De relaties voor r en s hierboven invullen geeft dan:
Dit is een vrij lastige differentiaalvergelijking. Als we hem oplossen, en vervolgens het antwoord in poolcoördinaten schrijven dan vinden we als oplossing:
ln r + c = -aÖ3

Hoe we precies daaraan komen is nogal saai. Als je het per se wilt weten moet je hier maar kijken.
De constante c volgt uit de beginwaarden voor r en a en is voor elke kever verschillend.
Als de driehoek in het begin "rechtop" staat geldt voor de bovenste kever (die op de y-as begint) dat r = 1/3 van de zwaartelijn van de driehoek (want die delen elkaar in stukken 2 : 1)
De zwaartelijn van een driehoek met zijde a heeft lengte 1/2aÖ3 dus  r = 1/3aÖ3 = a/Ö3  en de hoek a = 90º = 1/2p. Voor die kever wordt de vergelijking:

ln a/Ö3  + c = -Ö3•1/2p  ofwel  c = -ln a/Ö3 - Ö3•1/2p
De vergelijking van de kromme wordt daarmee:  ln r - ln(a/Ö3) = -aÖ3 + Ö3•1/2p
Een beetje fatsoeneren geeft:  ln(rÖ3/a) = Ö3•(1/2p - a)

Tot slot nemen we de e-macht van beide zijden om tot de volgende prachtige oplossing te komen:


Voor wiskundigen is dit een erg bekende vergelijking: het is die van de zogenaamde logaritmische spiraal, die op veel meer plaatsen in de natuur tevoorschijn komt.
Terug naar de drie kevers: er rest ons nog de lengte van hun afgelegde weg (als ze elkaar in het midden ontmoeten) uit te rekenen.
Bekijk een heel klein stukje van de baan (zie hiernaast). De kever legt het rode stukje ds af.
AC is ongeveer gelijk aan de cirkelboog tussen A en C en is dus  r da.
dr is in dit geval negatief: de afname van de straal.
Als da maar klein genoeg is, is hoek OCA ongeveer recht, en dan geeft Pythagoras
ds2 = (rda)2 + dr2
Daaruit volgt: 
Voor r kunnen we nu de gevonden formule nemen, en dan integreren voor a van p/2 naar ¥.
(de precieze afleiding kun je hier vinden)
Daar komt uit  dat S = 2/3• a
Generalisatie
Van driehoek naar vierkant naar vijfhoek naar.....
De algemene oplossing voor een  n-hoek is:
de vergelijking van de baan:
de lengte van de baan:

Daarin is q = 2p/n gelijk aan de hoek van de regelmatige veelhoek, en a de zijde.

Er is trouwens een simpele constructie om de lengte die de kevers hebben afgelegd te vinden. 
Die zie je in de figuur hiernaast.
Het rode lijnstuk is de afgelegde weg, en heeft lengte  L = r/ cos q

Deze verrassend simpele formule blijkt altijd te gelden. Zelfs voor vierkant, driehoek en het ontaarde geval van een rechte lijn. En ook voor het limietgeval van de oneindig-hoek (door kenners wel de "cirkel" genoemd) klopt de constructie (dan is q gelijk aan 90º en wordt L oneindig: de kevers kruipen alsmaar door)
Nog een toepassing:  De Duikboot en de Destroyer
Een destroyer krijgt een duikboot in de gaten, maar op het moment dat de boot gezien wordt, duikt hij onder en vaart snel weg in een rechte lijn, maar met onbekende richting. Welke route moet de destroyer gaan varen om er zeker van te zijn de duikboot te onderscheppen?

De oplossing is dat de destroyer onmiddellijk richting het punt P waar de duikboor onderdook moet varen. Als de duikboot (toevallig) precies in de richting van de destroyer vaart zullen ze elkaar ontmoeten in punt Q. Als dat niet gebeurt (en dat zal wel niet) dan moet de destroyer een abrupte bocht van  arccos (v/w) maken  (met v = snelheid duikboot, en w = snelheid destroyer). Vanaf dat punt moet de destroyer een logaritmische spiraal gaan varen. De vergelijking daarvan is
 r = r0 • eqcota met  r0 = 1 en  a als hierboven.

 
voorbeeld:  op t = 0 ziet de destroyer een duikboot op afstand 4 zeemijl. De snelheid van de destroyer is 30 knopen en die van de duikboot 10 knopen.
Dan geldt dat, als ze op elkaar afvaren, ze 4 mijl overbruggen in 6 minuten (1 knoop = 1 zeemijl per uur), dus na 6 minuten varen (dan heeft de destroyer 3 mijl afgelegd), is punt Q bereikt.
Dan maakt de destroyer een draai van  arccos(10/30) = 70,5º
De vergelijking van de dan te volgen logaritmische spiraal wordt  r = e0,3536•q
Een tekening van de situatie staat hiernaast.

Gegarandeerd ontmoet de destroyer de duikboot ergens tussen q = 0  en   q = 2p. Mooi hè?.....