|
Stel de zijde van de driehoek 1.
Uit symmetrie volgt dat het middelpunt van de grote cirkel gelijk is aan
het zwaartepunt van de gelijkzijdige driehoek.
BE is een zwaartelijn, dus Z verdeelt BE in stukken 1 : 2
Dus EZ = ZH = HB
BE2 + AE2 = AB2 Þ BE2
= 12 - 0,52 = 0,75 Þ BE = 1/2Ö3
Dus R = 1/3BE = 1/6Ö3
DF = ÖRr (zie de allereerste
sangaku)
Dus DF = 2Ö (r •1/6Ö3)
BF = 0,5 - DF = 0,5 - 2Ö (r •1/6Ö3)
BG = BZ - R - r = 2R - R - r = R - r = 1/6Ö3
- r |
 |
|
|
Pythagoras in BGF:
(0,5 - 2Ö (r •1/6Ö3))2
+ r2 = (1/6Ö3
- r)2
Daaruit is r op te lossen (alle haakjes weg werken en dan de
ABC-formule):
0,25 -2Ö(r •1/6Ö3)
+ 4•r •1/6Ö3
+ r2 = 1/12
- 2/6rÖ3
+ r2
r • (Ö3) - Ör
•2•Ö(1/6Ö3)
+ (1/6) = 0
ABC-formule:
Conclusie: r
= 1/18Ö3
Hé,
dat is precies 1/3 deel van
R. Had ik dat slimmer kunnen beredeneren?
Maar natuurlijk! Ik kan me wel voor mijn hoofd slaan!!!
|
De zwaartelijn hiernaast wordt
in drie stukken, allemaal met lengte R verdeeld.
Dus het kleine rode driehoekje heeft een zwaartelijn van lengte R,
terwijl de grote driehoek zwaartelijn 3R heeft.
Het kleine driehoekje is dus 1/3
van de grote dus de ingeschreven cirkel ook!
Ik schaam me dood!!!!
Ik zal snel de hele berekening hierboven weghalen, en net doen alsof dit
laatste mij "natuurlijk" direct te binnen schoot; dat dat
"evident" is..... |
 |
|
|
|
|
