Er is een elegante manier om een noodzakelijke (maar
niet voldoende) voorwaarde voor het mogelijk zijn van een overgang te
vinden. We kennen aan elk veld twee waarden toe, die we aangeven
met 0, p, q of r.
Verder definiëren we tussen deze vier waarden onze eigen soort
"optellen":
|
r + p = q
r + q = p
p + q = r
r + r = p + p = q + q = 0
p,q,r + 0 = p,q,r |
Nu "nummeren" we het solitaire bord op de
volgende manier:
Wat gebeurt er bij één solitaire-zet? Twee pionnen naast elkaar
worden vervangen door één nieuwe. Als we bijvoorbeeld op het genummerde
bord hierboven twee pionnen linksboven naast elkaar hebben staan (op qq
en rr), en als de qq-pion over de rr -pion springt,
geeft dat na afloop één pion op pp.
En daarbij blijft zowel de som van de eerste "getallen" van
de bezette velden als de som van de tweede "getallen" van
de bezette velden gelijk. Tenminste als we de rekenregels hierboven
gebruiken. Kijk maar:
Vooraf: ( qq ) + ( rr ) = (q + r , q + r )
= (p , p)
Na afloop: (p , p)
De nummering van de velden is zo gekozen dat dit altijd geldt! Dus als in
een beplaalde beginpositie de som van alle eerste getallen van de bezette
velden gelijk is aan p, dan is dat na een aantal zetten
gegarandeerd nog zo! We hebben een soort van "Behoud-van-p"
wet gevonden.
Terug naar de beide posities hierboven.
De beginpositie heeft als som van bezette velden (in leesrichting):
qq + rr + pp + pr + qp + rq + pq + qr + rp + pq + rp + pq + pp + qq + qq +
rr + pr + qp + rq + pr + qp + qr
De eerste posities optellen (bedenk dat p + q + r = 0):
q + r + p + p + q + r + p + q + r + p + r + p + p + q + q + r + p + q + r
+ p + q + q = 8p + 6r + 8q = 2p + 2q = 0
De tweede posities optellen:
q + r + p + r + p + q + q + r + p + q + p + q + p + q + q + r + r + p + q
+ r + p+ r = 7p + 8q + 7r = q
De hele begintoestand kun je karakteriseren als een (0
, q) toestand.
Tijdens alle mogelijke zetten zal dit een (0,q)-toestand blijven.
De eindtoestand is (pr) + (pq) dus dat is
een (0, p) toestand.
Daarom zal de eindtoestand nooit bereikt kunnen worden
vanuit deze begintoestand.
Nogmaals: deze elegante methode geeft alleen uitsluitsel als de toestanden
NIET gelijk zijn. Het wel gelijk zijn is geen garantie dat de eindtoestand
ook werkelijk bereikt kan worden. (neem als eenvoudig voorbeeld maar als
begin een losse pion op qq rechtsboven en als eind een losse pion op qq
rechtsonder) |
