Spruiten  (ook wel  "Brussels sprouts")
Je hebt er niet meer voor nodig dan een velletje papier en een pen.
Het spel gaat als volgt:

Zet een aantal kruisjes op het papier.
Degene die aan zet is moet twee uiteinden van kruisjes met elkaar verbinden, waarbij hij geen al bestaande verbindingslijnen mag snijden.
Daarna zet hij in de nieuw getekende verbindingslijn een streepje, dat weer kan dienen als twee uiteinden van een nieuw kruisje.
Wie geen zet meer kan doen heeft verloren.

Een spel met drie kruisjes in het begin zou er zó uit kunnen zien:

Het spel wordt beschreven in het beroemde boek "Winning ways for your mathematical plays" van Berlekamp, Conway and Guy.  Ze vragen daar de lezer om een winnende strategie te vinden, maar die vraag is eigenlijk een grap.
Het blijkt namelijk dat dit spel altijd bestaat uit 5n - 2 zetten (waarbij n het aantal beginkruisjes is). Het spel hierboven is na precies 13 zetten afgelopen.
Kortom, bij een even aantal kruisjes wint de tweede speler en bij een oneven aantal de eerste speler.

't Is daarom nogal een flauw spel om te spelen. Wel interessant is natuurlijk de vraag:

Waarom  bestaat een spel altijd uit precies 5n - 2 zetten?
Laten we eerst een paar termen introduceren, dat praat wat makkelijker:
• knooppunt (K) elk kruis; verbonden of niet
• lijn (L) verbinding tussen twee knooppunten
• opening (O) vrij uiteinde van een knooppunt
• vlak  (V) deel dat geheel is ingesloten door lijnen.
(ook het hele papier noemen we een vlak).
• samenhangsel (S) verzameling knooppunten en lijnen waarbij er een lijn is tussen elke twee knooppunten

Nou geldt er voor vlakke grafen een erg handige regel, en dat is de formule van Euler:

V - L + K = S + 1    .....(1)

Daarin is   K = aantal knooppunten, V = aantal vlakken, E = aantal lijnen en S = aantal samenhangsels
De formule is vrij eenvoudig met inductie te bewijzen. Een bewijs staat hier.

Wat gebeurt er tijdens een "zet"?

Er wordt een lijn getekend en op die lijn wordt een nieuw knooppunt gezet. Dat betekent dus dat er in totaal 2 nieuwe lijnen en 1 nieuw knooppunt worden gemaakt. Noem z het aantal zetten, dan geldt er:

L(z) = 2z    ......(2)
K(z) = n + z  ......(3)   (we begonnen met n knooppunten)

Daaruit volgt eenvoudig dat altijd geldt:  L = 2K - 2n  ..... (4)

Elk vlak bevat altijd minstens één opening; die is namelijk toegevoegd toen het vlak gemaakt werd. Dus moet gelden   V £ O  ......(5)
Het totale aantal openingen is constant, want een zet laat er twee verdwijnen en voegt er ook weer twee toe. Dat aantal is dus O = 4n  .....(6)

(1) en (4) geven:  V - 2K + 2n + K = S + 1
(5) en (6) geven  V £ 4n

Deze laatste twee vergelijkingen samen leveren ons dat  4n - 2K + 2n + K ³ S + 1
ofwel:  K £ 6n - S - 1
maar omdat  S ³ 1  moet wel gelden:  K £ 6n - 2

Vergelijking (3) levert dan dat er na z zetten geldt  z + n £ 6n - 2  Þ z £ 5n - 2
Daarmee is het eerste deel bewezen: het aantal zetten kan nooit méér dan 5n - 2 zijn.

Deel 2

In de slotpositie is  S = 1.
Als er meer dan één samenhangsel is, heeft het buitengebied van elk van deze samenhangsels een opening en kunne we deze twee openingen nog met elkaar verbinden, dus was dit niet de slotpositie.

Verder bevat in de slotpositie elk valk ook precies één opening (anders was nog een zet mogelijk).
Dat betekent dat in de slotpositie geldt:  V = O = 4n

in het verhaal hierboven hebben we op twee plaatsen ongelijkheden ingevoerd.
• bij  S ³ 1,  maar dat kunnen we voor de slotpositie vervangen door S = 1
• bij  V £ O maar in de slotpositie kunnen we dit vervangen door V = O

Kortom; voor de slotpositie geldt z = 5n - 2 en daarmee is ons bewijs geleverd.