|
Zwart-Geel
Voor je ligt een vierkant bord met daarop op elk veld een fiche. Het fiche
is aan de ene kant zwart en aan de andere kant geel. In het begin zijn alle
zwarte kanten zichtbaar. Nu mag je fiches gaan omdraaien volgens de regel: als
je een fiche omdraait moet je ook al zijn direct buren omdraaien (horizontaal en
verticaal, niet diagonaal).
Het doel is het hele bord geel te maken.
Een voorbeeld met een 3x3 bord:
Om een beetje gevoel voor het spel te krijgen zou je eerst even een paar keer
zelf moeten oefenen. Dat kan met de volgende variant. Zwart-geel gaat namelijk ook wel
rond onder de naam "Doof de Lampen", en dat kun je
HIER
spelen.
De wiskundige beschrijving van ons 3x3 spel gaat als volgt:
Nummer de velden 1 tm 9 in leesrichting. Maak een beginvector (B) die
overeenkomt met de begintoestand. Noem 0 = zwart, 1 =geel
In dit geval de vector (0,0,0,0,0,0,0,0,0)
De eindvector (E) is in dit geval (1,1,1,1,1,1,1,1,1)
We kunnen nu een matrix A definieren, die aangeeft of een veld grenst aan een
ander veld. (1 = "grenst aan", 0 = "grenst niet aan").
Die ziet er zo uit:
Welke velden moeten veranderen? Degenen die een ander getal in de B-vector
hebben dan in de E-vector. Dat zijn de velden die opgeteld (modulo 2) een waarde
1 geven. Dus kolomvector B + E (mod 2) geeft de benodigde wisselingen aan.
Als we nu een wisselvector (W) maken die aangeeft welke velden we tijdens ons
spel uiteindelijk gaan kiezen (1 = kiezen, 0 = niet kiezen), dan wisselt de
kleur van een willekeurig knooppunt K elke keer als K grenst aan een veld dat
een 1 heeft in vector W. Dat betekent dat A • W (mod 2) aangeeft wat er met
elk knooppunt gebeurt.
Kortom, als we ervoor zorgen dat A • W = B + E (alles mod 2), dan
is het eindresultaat vanzelf goed!
Hoe vinden we W? Nou gewoon, uit de vorige vergelijking volgt W = (B
+ E)T•A-1, dus door de vectorrij (T = getransponeerd)
B+E te vermenigvuldigen met de inverse matrix.
En nu geldt (B + E)T•A-1 = (1,0,1,0,1,0,1,0,1) dus
dat betekent dat we velden 1, 3, 5, 7 en 9 moeten kiezen om te wisselen. Dat is
bovenaan inderdaad precies gebeurd.
Oefenen? Probeer deze overgang maar eens te maken:
De oplossing staat onder de zwarte balk hieronder
|
B = (1,0,0,1,1,0,1,1,0), E = 1,0,0,1,0,1,0,1,0)
B + E = (0,0,0,0,1,1,1,0)
(B + E) • A-1 = (0,0,0,0,0,0,0,1,1)
Wissel de velden 8 en 9. |
Uitbreiding.
Een nieuwe soort van meerdimensionale variant van zwart-geel is het spel dat je
hieronder zelf kunt spelen. Klik op een cijfer en dat wordt één lager, en alle
buren ook (elk hokje heeft 4 buren; horizontal en verticaal). Helaas wordt het
getal 0 niet lager, maar gelijk aan 3.
Het doel is alle hokjes gelijk aan nul te maken.
Veel plezier..... Of ergernis.......
|
