| DE UITSLAG VAN EEN TOERNOOI |
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
|
Stel dat je een halve competitie tussen vier spelers hebt gehad (elke één
keer tegen elke andere) waarbij een gewonnen wedstrijd 1 punt voor de winnaar
oplevert (en 0 voor de verliezer), en een gelijk spel 0,5 punt voor beide
spelers.
De uitslag staat in de tabel hieronder.
| |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
| S1 |
0 |
0,5 |
0,5 |
1 |
| S2 |
0,5 |
0 |
0 |
1 |
| S3 |
0,5 |
1 |
0 |
0 |
| S4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
Het getal in de vakken geeft het aantal punten van de speler die bij de
rij hoort. De laatste kolom geeft het totaal aantal punten van de betreffende
speler aan.
De winnaar is duidelijk speler 1 geworden. Maar hoe zit het met de tweede
plaats?
S2 en S3 hebben evenveel punten, maar S2 heeft
alleen S4 verslagen, en dat is de zwakste speler. Maar S3
heeft een sterkere speler verslagen, namelijk S2. Het lijkt er daarom
op dat S3 een betere prestatie heeft geleverd dan S2, dus
S3 zou tweede moeten worden, en S2 derde.
Nou is dit nog maar een erg eenvoudig voorbeeldje. Is er niet een algemene
regel te vinden om, bij gelijke stand, toch een volgorde te bepalen?
Als je winst op een sterkere speler zwaarder wilt laten tellen dan winst
op een zwakkere speler, is het misschien een idee om de score die Si
tegen Sj heeft gehaald te vermenigvuldigen met het totaal aantal
punten dat Sj heeft gehaald en daarna die scores pas op te tellen.
Wiskundig komt dat neer op het volgende:
Beschouw de uitslagen van de onderlinge wedstrijden als een 4x4 matrix M.
Je kunt de rijen dan optellen door M te vermenigvuldigen met een kolomvector K:
(1 1 1 1)T
Tenslotte kun je de getallen uit M vermenigvuldigen met de totaalscores
van de bijbehorende tegenstanders en vervolgens bij elkaar optellen door de
nieuwe matrix opnieuw te vermenigvuldigen met matrix M:
In feite hebben we M2•K uitgerekend, en dat is hetzelfde als de
rijen van M2 op te tellen. Uit deze laatste vector blijkt duidelijk
dat speler 3 beter heeft gescoord dan speler 2. Helaas is een vervelende
bijkomstigheid dat nu speler 1 en speler 3 evenveel gescoord hebben! Vervelend!
Een oplossing is om gewoon weer met M te vermenigvuldigen (dan berekenen we in
feite de rijsommen van M3).
Dat geeft:
En daar hebben we eindelijk een goede eenduidige, eerlijke eindstand.
|
