Bladerend in een boek over toegepaste
wiskunde kwam ik de volgende tabel tegen:
| jaar |
wereldbevolking
in miljarden |
| 1650 |
0,510 |
| 1700 |
0,625 |
| 1750 |
0,710 |
| 1800 |
0,910 |
| 1850 |
1,130 |
| 1900 |
1,600 |
| 1950 |
2,565 |
| 1960 |
3,050 |
| 1970 |
3,721 |
| 1980 |
4,476 |
| 1990 |
5,320 |
Bij zo'n tabel begint het gelijk te kriebelen en grijp je
automatisch naar je TI-83.
Ik noemde 1650 voor het gemak t = 0, en zette
vervolgens het aantal jaar (dus vanaf 1650 gerekend) in Lijst1 en de
bevolking in Lijst2 (met STAT - EDIT) en plotte deze gegevens (met
STATPLOT - Plot1 - ON, Type nr2, Xlist L1, Ylist L2, WINDOW Xmin=0, Xmax=340,
Ymin=0, Ymax=6):
Nou, als wiskundige ben je natuurlijk direct razend nieuwsgierig naar
een vergelijking voor deze "wereldse" kromme. Een eerste ingeving was: het
zal wel een benadering van een machtsfunctie (y = A • tB)
zijn of een exponentiële kromme (y = B • gt).
Nou is dat trouwens bij elke onbekende kromme mijn eerste ingeving moet
ik eerlijk zeggen. Ik héb ook eigenlijk niet zoveel meer ingevingen.
OK. Proberen met de TI-83 dan maar:
Als het een exponentiële kromme is, moet het een rechte lijn
worden als ik op de y-as log y uitzet. Immers y
= B • gt Þ
log y = log B + t • log g en dat is
lineair
Als het een machtsfunctie is, dan moet het een rechte lijn worden
als ik op de y-as log y uitzet en op de x-as log x.
Immers y = A• tB Þ
log y = log A + B • log t
Beide proberen maar:
Exponentieel
STAT - EDIT - L3 = log (L2) en opnieuw plotten met
Xlist = L1 en Ylist = L3 en WINDOW Xmin = 0 , Xmax
= 340 , Ymin = -0.5 , Ymax = 0.5
Machtsfunctie
STAT - EDIT - L4 = log(L1) (en dan moet je
eerst het eerste punt t = 0 verwijderen uit de lijsten
omdat log 0 niet bestaat) en opnieuw plotten met STATPLOT - Xlist
= L4 en Ylist = L3 en WINDOW
Xmin = 2, Xmax = 2.5 , Ymin = -0.5 , Ymax = 0.5
Dat gaf de volgende twee plots:
Nou ja zeg! Is dit nog serieuze wiskunde?
Dat lijkt in de verste verte niet op een rechte lijn! Beide niet!
Beide grafieken zijn "HOL". Dat betekent dat de helling op het
eind sneller toeneemt dan die van de gehoopte rechte lijn. Kennelijk
gaat deze groei tegen het eind sneller dan de twee die we probeerden.
|
Nou weet ik dat exponentiële groei op den duur altijd sneller
gaat dan groei via een machtsfunctie. Maar deze groei gaat nóg
sneller....
Van exponentiële groei is bekend dat die ontstaat uit de
differentiaalvergelijking: y' = c • y
(met als oplossing y = y0
• ect )
Ofwel: hoe snel iets groeit is evenredig met hoeveel er van zijn. Laten
we ons evolueren naar de volgende soort groei: kan het misschien
zo zijn dat de constante a in de differentiaalvergelijking
geen constante is, maar afhangt van y?
Het simpelste verband zou lineair zijn: c(y)
= c • y/ y0 waarbij we door y0
gedeeld hebben om de dimensies van de vergelijking zo eenvoudig mogelijk
te houden.
Dat geeft de vergelijking y ' = (c/y0)
• y2
De oplossing van deze vergelijking is verrassend
eenvoudig: y = y0/(1 - ct)
Deze nieuwe soort groei heet hyperbolische groei.
|
Laten
we opnieuw kijken of de formule een beetje "past".
L5 = 1/L2 moet dan uitgezet tegen L1
een rechte lijn geven. Proberen:
BINGO! Een prachtige rechte lijn.
De formule?
STAT - CALC - Linreg (L1,L5) levert y
= ax + b met a = -0,0049609173
en b = 1,867332424
Daaruit volgt y0 = 1/b =
0,5355232883 en vervolgens c = -y0
• a = 0,0026566867
Het gezochte verband is daarmee geworden:
De figuur rechts laat nog eens zien hoe griezelig goed deze
vergelijking bij de gegevens past.
Maar wacht eens even.... de functie y(t) heeft een
verticale asymptoot!
Oeioeioeioei!!!!!
Onze TI-83 berekent dat op t = 376,36 de wereldbevolking
oneindig zal zijn!
Ofwel:
|
Kijk uit voor de grote
explosie van 10 mei 2026 !
Zegt het voort!!!! |
|
