De formule van Cardano.

ax3 + bx2 + cx + d = 0
STAP 1.
Substitueer eerst  x = y - b/3a. Dat geeft:
Daarin zijn p en q de uitdrukkingen tussen de haakjes.
STAP 2.
Substitueer nu  y = r + s  en kies r en s zó dat  3rs + p = 0. Dan geldt:
We vinden dus  r3 + s3 = -q  (voorwaarde 1)
Maar ook:
Dit laatste betekent,  samen met voorwaarde 1,  dat r3 en s3 de oplossingen zijn van een tweedegraads vergelijking:
Daarmee zijn r3 en s3 gevonden, en dus r en s, en dus y en dus x.
De hele Cardano-oplossing zou worden:
 
VOORBEELD 1
x3 + 3x2 - 9x - 27 = 0
geeft p = -9 - 3 = -12  en  q = 2 - - 9 - 27 = -16
dat levert r3 = 8 ofwel  r = 2 dus  s = 2
de oplossing is  x = 2 + 2 - 1 = 3
De andere oplossingen zijn op twee manieren te vinden:
1. Met de factorstelling.

x3 + 3x2 - 9x - 27 = (x - 3)(x2 + 6x + 9) = (x - 3)(x + 3)2. Dus de andere oplossing is  x = -3
     
2. Met complexe wortels.

r3 = 2 heeft de andere oplossingen  r2 = -1 + i√3  en  r3 = -1 - i√3
Dat geeft s2 = -p/3r2 = -1 - i√3   en  s3 = -1 + i√3
Dus  y2 = -1 + i√3 - 1 - i√3 = -2 en dus  x2 = -2 - 3/3 = -3 
en  y3 = -1 - i√3 - 1 + i√3 = -2 en dus x3 = -2 - 3/3 = -3
VOORBEELD 2
Soms heeft de r3-vergelijking alleen maar complexe wortels:
neem  bijv. x3 - 5x2 + 2x + 8 = 0
Dat geeft  p = -19/3  en  q = 56/27
Dus  r3 = -56/54 + 0,5√(-100/3)
r1 = 1,1666666 + 0,86602i
s1 = 1,1666666 - 0,86602i
x1 = 4
Daarna levert de factorstelling  x2 = 2 en x3 = -1

Meer oefenen kan met onderstaand Cardano-apparaat. Het geeft de reële én complexe wortels van een derdegraadsvergelijking. Het antwoord wordt in wetenschappelijke notatie gegeven.

 





Vul eerst hier een getal in, 
en click daarna op de plaats van dat getal 
in onderstaande vergelijking:

 

     ( +  * i) * X3 

  + ( +  * i) * X2

 + ( +  * i) * X

  + ( +  * i) = 0

  

Oplossing 1:  +  * i

Oplossing 2:  +  * i

Oplossing 3:  +  * i