© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Via de definitie van de afgeleide (met  f(x) = sinx) :
       

bij die laatste stap is de somformule voor  sin(α + β) gebruikt uit deze les.
       

en nou splitsen we dat in vier limieten:
       

       
De eerste en de derde zijn nogal simpel:  dx gaat naar nul, maar komt verder helemaal niet in de limiet voor.
Daar komt dus gewoon  sinx  (eerste limiet )  en  cosx (derde limiet)  uit.

Laten we eerst die vierde limiet gaan bepalen.
Zie de figuur hiernaast.
PR is een cirkelboog van een cirkel met straal 1 en middelpunt O
De hoek die we bekijken is dx

RT is de raaklijn aan die cirkel in R zodat RT loodrecht op OR staat.

de lengte van boog PR is gelijk aan dx  (definitie van radialen)

in driehoek OSR geldt  SR = OR • sindx = 1 • sindx = sindx

In de figuur kun je zien dat  SR < PR < boogPR
Dus  sindx < dx

Dus dan is  sindx/dx < 1       ..........(1)
       
Maar hiernaast zie je dat RT + TP >  boogRP = dx  want de omtrek van de rode cirkel is kleiner dan de omtrek van de blauwe veelhoek eromheen.

dx < RT + TP < QT + TP  = PQ
Maar in driehoek OPQ geldt  tandx = PQ/OP = PQ/1 = PQ

Dus  dx < tandx  =  sindx/cosdx

Dan is   sindx/dx  > cosdx     ...........(2)  

       
(1) en (2) samen geeft   cosdx < sindx/dx < 1
Maar als dx naar nul gaat, dan gaat cosdx naar 1.
Die sindx/dx zit in de sandwich tussen twee dingen in die beiden naar 1 gaan, dus gaat sindx/dx zelf ook naar 1  (dat heet officieel de insluitstelling).
Die vierde limiet is dus gelijk aan 1.

Nou de tweede limiet nog, maar daar gaan we handig de zojuist gevonden limiet bij gebruiken. Kijk maar:
       

Die eerste limiet is 1 zoals we intussen weten.
Die tweede limiet is  0/(1 + 1) = 0  (gewoon dx = 0 invullen)
Samen geeft dat  -1 • 0 = 0

Daarmee zijn alle vier de limieten bekend, en vinden we voor de afgeleide van sinx:
f '(x) = sinx • 0 + cosx • 1 = cosx
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)