Andere Groeimodellen.
De "echte" groeiformule van de vorm  y = B • gt  zul je in de praktijk niet zo vaak tegenkomen, vooral niet als g > 1.
Immers, dan zal de hoeveelheid y alsmaar groter en groter worden, en in praktijk komen dingen die oneindig groot (of heel heel groot) worden nou eenmaal niet voor.
Vaak is de vorm B • gt  slechts een deel van een grotere formule.
In deze les zullen we daar een paar voorbeelden van bekijken.
Voorbeeld 1.  asymptotische groei

Ik haal een bevroren brood van -4ºC uit mijn vriezer en laat het in de keuken, waar het 20ºC is,  liggen om te ontdooien.  Als ik een formule probeer op te stellen voor de temperatuur (T) van het brood als functie van de tijd (t) dan moet ik mij een paar dingen bedenken:

• In het begin stijgt de temperatuur van het brood snel, maar dat wordt steeds minder omdat de temperatuur van het brood steeds meer gelijk wordt aan de keukentemperatuur. Het verschil V tussen beide temperaturen wordt steeds kleiner.
• Uiteindelijk zal de broodtemperatuur gelijk gaan worden aan 20ºC, dus het verschil V tussen de temperaturen zal nul worden.
Ik neem als model dat het verschil tussen de broodtemperatuur en de keukentemperatuur exponentieel afneemt, laten we zeggen met groeifactor 0,9 per uur. In het begin is dat verschil gelijk aan 24ºC, dus de formule zal zijn:
V = 24 • 0,9t

Maar als ik een formule voor T zélf wil, dan moet ik bedenken dat  V = 20 - T
Daaruit volgt  T = 20 - V dus:

T =  20 - 24 • 0,9t

Dat geeft deze grafiek:

Voorbeeld 2.  Geremde Groei.
Als een boswachter het aantal konijnen in zijn bos telt, dan merkt hij dat in het begin dit aantal exponentieel toeneemt, immers het groeit sneller en sneller want als er meer zijn komen er ook meer bij. Dat kan allemaal omdat er genoeg voedsel en leefruimte voor de beesten is. Maar als er teveel konijnen komen dan neemt de groei af, want er komt een voedselgebrek en er worden er meer en meer door vossen gevangen. Het aantal konijnen kan nou eenmaal niet oneindig groot worden; daar zit een bovengrens G aan.  Bijvoorbeeld G = 800.
De grafiek van het aantal konijnen (K) als functie van de tijd (t) zal een soort van S-vorm zijn, met een horizontale asymptoot  K = 800.

In zulke gevallen blijkt te gelden:      hoeveel er nog bij kan/hoeveel er al is = B • gt
In dit geval wordt dat  (G - K)/K = B • gt

Laten we daar K = ..... van gaan maken:
Þ  G - K = K • B • gt
Þ  K • B • gt  + K = G
Þ  K • (B • gt  + 1)  = G
Met B = 10 en g = 0,9 krijg je inderdaad de blauwe S-vorm hierboven.
1. Leerpsychologen zeggen dat het beter is om twee keer 1 kwartier ergens aan te leren dan één keer een half uur. In de formule hieronder is deze leerpsychologische wet terug te vinden.

E(t) = 100 – (100 – B)·0,7t
Daarin is B het percentage van de stof dat je aan het begin al kent, en E het percentage dat je na t kwartier aan één stuk door leren kent (als je dus begint met B%)
a. Leg uit welke asymptoot de grafiek van E heeft, en wat dit in praktijk voorstelt.
b. Karin wil de stof uiteindelijk voor 80% kennen. Ze berekent met de formule hierboven dat ze dan nog 58 minuten moet leren. Voor hoeveel procent kent ze de stof nu al? Geef een exacte berekening.
Helaas: als je stopt met leren ga je de stof ook langzaam weer vergeten. Daarvoor geldt het volgende verband:

E(t) = B · 0,98t
E is het eindpercentage, B het beginpercentage en t de tijd in kwartieren.
c. Jasper moet een hoeveelheid Engels leren. Hij kent er nog helemaal niets van. Hij gaat kiezen uit twee strategieën:
I:  Direct een half uur leren, daarna niets meer
II:  Een kwartier leren, een uur wachten en dan nog een kwartier leren.
Bereken met welk van beide strategieën hij drie uur nadat hij begint nog het meeste weet.
2. "Schat, ik ben over twee uur thuis, staat de borrel koud?" buldert de heer van Dijk over de telefoon tegen zijn lieftallige echtgenote.  Zij realiseert zich met schrik dat de borrel helemaal niet koud staat: de fles Bokma staat gewoon in de kamer op een temperatuur van 20ºC. Haastig zet ze de fles in de koelkast; hij drinkt zijn borrel graag op 6ºC. Ze kent de woede van haar echtgenoot...

Ze weet uit ervaring dat elke 10 minuten het temperatuurverschil V tussen de fles en  de koelkast afneemt tot 80% van de waarde aan het begin van die 10 minuten (bijvoorbeeld: als de fles nu 20ºC is en de koelkast 5ºC, dan is het verschil 15ºC, en daarvan is over 10 minuten nog 0,8 • 15 = 12ºC van over, dus de fles zal dan 17ºC zijn).
a. Maak de volgende tabel af:
tijd (min) 0 10 20 30 40
T(ºC) 20 17      
V(ºC) 15        
b.  Bewijs dat V(t) een exponentiële functie is en geef een formule voor V(t)
c. Geef een formule voor T(t), schets de grafiek ervan, en geef de vergelijking van eventuele asymptoten.
d. Bereken wanneer de fles, als hij in de koelkast zou blijven staan, een temperatuur van 6 ºC zou hebben.
3. Het aantal mobieltjes in Nederland neemt sterk toe. Een conciërge van een middelbare school heeft ene poosje bijgehouden hoeveel mobieltjes er waren onder de leerlingen. Voor de eerste vijf maanden vond hij de volgende tabel:
maand (t) 1 2 3 4 5
aantal 20 24 30 37 45
De man heeft wiskunde B in zijn pakket gehad en vermoedt dat de groei ongeveer exponentieel kan zijn. Hij ontwikkelt de formule  A(t) = 16 • 1,22t
a. Leg duidelijk uit dat de groei inderdaad (ongeveer) exponentieel zou kunnen zijn, en verklaar hoe je deze formule kunt afleiden.
b. Bereken met deze formule wanneer er voor het eerst 700 mobieltjes zullen zijn.
Maar dat is nou net het probleem: de school heeft maar 600 leerlingen, dus het model van de conciërge kan nooit kloppen. Haastig en met een rood hoofd stelt de man een nieuwe formule op, die er rekening mee houdt dat de groei op den duur minder zal moeten worden:

c. Onderzoek wanneer beide modellen een verschil van ongeveer 120 mobieltjes geven.
d. Leg uit hoeveel mobieltjes er volgens dit tweede model maximaal op deze school zullen komen.
4. Examenvraagstuk

In de visserijbiologie worden groeimodellen ontwikkeld die het verband aangeven tussen de leeftijd en het gewicht van een vissoort. Als voorbeeld van een groeimodel is hiernaast de grafiek getekend die het verband aangeeft tussen de leeftijd en het gewicht van de haring. Neem aan dat de kromme vanaf t = 1 beschreven kan worden door 
H(t) =  c - a • bt 
a. Bepaal a, b en c
Ook bij het kweken van vis gebruikt men modellen uit de visserijbiologie. In een grote kweekvijver worden 11000 eenjarige forellen uitgezet. Het aantal forellen neemt per dag  af met 0,03%. Hieruit is af te leiden dat het aantal in leven zijnde forellen kan worden beschreven met de formule:

N(t) = 11000 • e-0,11t
Met t  in jaren vanaf het moment van uitzetten
b. Geef deze afleiding
Het verband tussen de leeftijd en het gewicht van een exemplaar van deze forelsoort wordt beschreven door de formule  F(t) = 0,600 - 0,535 • e-0,37t (t in jaren vanaf het moment van uitzetten).
Het gewicht in kilogrammen van alle forellen samen wordt dan gegeven door:  

G(t) = 6600 • e-0,11t - 5885 • e-0,48t
c. Toon dit aan.
De eigenaar wil de  vijver helemaal leegvissen op het moment dat het gewicht van alle forellen samen maximaal is.
d. Bereken hoeveel maanden na het uitzetten de vijver leeggevist moet worden