© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Snijpunten van cirkels met cirkels.  
   
Een cirkel met een cirkel snijden dat kan niet zomaar met behulp van substitutie (zoals in de vorige les)
Dat komt omdat een cirkelvergelijking nou eenmaal niet te schrijven is als  y = ......  (je zou een vergelijking met  +/-  krijgen en bovendien zou die vergelijking nogal vervelende wortels bevatten).

Maar als je de vergelijkingen van de beide cirkels onder elkaar schrijft en ze dan van elkaar aftrekt, dan vallen de stukken met x2 en y2  weg!
Dat geeft een lineaire vergelijking en die kun je wél schrijven als y = .....
Als je die dan invult in één van beide cirkels, dan kun je toch een oplossing vinden.
Dat geeft het volgende werkschema:
 
Snijpunten van twee cirkels:
1.  schrijf de vergelijkingen zonder haakjes.
2.  trek ze van elkaar af.
3.  schrijf het resultaat als  y = ...  of  x = ...
4.  substitueer dat in één van beide cirkels.
 
Voorbeeld:  
Bereken de coördinaten van de snijpunten van   (x - 3)2 + (y - 1)2 = 25  en   x2 + y2 + 14x + 8y = 35

Oplossing
Werk de haakjes weg en schrijf ze onder elkaar:
x2 + y2 + 14x + 8y = 35
x2 + y2  -  6x  - 2y = 15

Van elkaar aftrekken geeft  20x + 10y = 20  ofwel  y = 2 - 2x
Substitueren in bijv. de eerste cirkel:  (x - 3)2 + (2 - 2x - 1)2 = 25
⇒ x2 - 6x + 9 + 1 - 4x + 4x2 = 25
⇒ 5x2 - 10x - 15 = 0
⇒ x2 - 2x - 3 = 0
⇒ (x + 1)(x - 3) = 0
⇒ x = -1  ∨  x = 3
Dat geeft vervolgens met y = 2 - 2x de snijpunten  (-1, 4)  en (3, -4).
   
En omdat het snijden van een cirkel met een cirkel uiteindelijk steeds een kwadratische vergelijking geeft, geldt hier ook weer dat het aantal oplossingen afhankelijk is van de discriminant van die vergelijking:
   

   
 
 
  OPGAVEN
       
1. Bereken algebraïsch de coördinaten van de volgende snijpunten:
       
  a. De cirkels  (x - 5)2 + (y - 11)2 = 40  en   x2 - 20x + y2 - 2y + 46 = 0
       
  b. De cirkels  x2 + y2 - 4x - 8y  = 110  en  x2 + y2 + 8x = 10
       
  c. De cirkels  x2 + 2x + y2 = 6y + 1575  en   x2 + (y - 14)2 = 26x + 465
       
2. Je kunt ook een raaklijn aan een cirkel opstellen vanuit een punt P buiten de cirkel.
  Zie de figuur hiernaast.

PRM is een rechthoekige driehoek.
Je kunt berekenen hoe groot RM en PR zijn.
Dus kun je met Pythagoras ook PR berekenen.

Als je nu een tweede cirkel opstelt met middelpunt P en straal PR  dan kun je punt R vinden door deze tweede cirkel met de gegeven cirkel te snijden!!
Beantwoord met deze methode de volgende vraag:
       
  Er zijn twee lijnen door het punt P(8, 3) die de cirkel  x2 + y2 - 4x - 2y = 15 raken. 
Geef vergelijkingen van die lijnen.
       
 
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)