opgaven HAVO wiskunde A

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Gemengde opgaven HAVO Wiskunde A.

vuistregels normaal
effectgrootte
wortelformule GR
grafiek aflezen

Op consultatiebureaus houdt men nauwkeurig de lengte van baby’s bij.
De gemiddelde lengte van een pasgeboren baby was in Nederland in 2015 gelijk aan 50 cm.
Natuurlijk zijn niet alle pasgeboren baby’s even lang: L is de gemiddelde lengte.
De lengtes zijn normaal verdeeld en de standaarddeviatie blijkt 8 cm te zijn.

Als je de lengtes van 1600 pasgeboren baby's bekijkt, hoeveel van die baby's zullen dan een lengte tussen de 42 en 66 cm hebben?

De arts van een consultatiebureau heeft in 2019 de lengte van alle pasgeboren baby's in haar praktijk bijgehouden en zij vond een gemiddelde lengte van 52 cm. De arts wil statistisch onderzoeken of dat gemiddelde afwijkt van 50 cm. Gelukkig heeft zij wiskunde A op de middelbare school gehad.
Zij berekent daarom de effectgrootte.
Zij vindt een effectgrootte van 0,4. Precies op de grens tussen "gering" en "middelmatig".

Bereken m.b.v. je GR hoe groot de standaardafwijking van haar metingen zal zijn geweest. Leg ook met een redenering uit of de effectgrootte bij grotere standaardafwijkingen groter of kleiner zal zijn.

Ook tijdens de eerste paar jaar van het leven wordt de gemiddelde lengte van de baby's bijgehouden. Er blijkt te gelden: L = 20 + 10 • √(t + 9).
Daarin is L de lengte van een baby in cm en t de leeftijd in maanden met t = 0 op het tijdstip van de geboorte.

Onderzoek met deze formule in hoeveel tijd de lengte van een baby vanaf de geboorte verdubbelt.

Om aan te geven wat een normale lengte is heeft de arts van het consultatiebureau in de figuur hiernaast de grafiek van L getekend plus de twee lijnen waartussen 50% van de baby’s zich bevindt. De baby's tussen die beide lijnen noemen we "normaal".
Een trotse moeder beweert dat haar pasgeboren baby "normaal" was, en na 20 maanden nog steeds " normaal" was, ondanks een groei van maar liefst 80%

Onderzoek met de figuur of dat een sterk verhaal is, of dat dit inderdaad in principe mogelijk is.

redeneren formule
breuk optellen
formule GR
Max Vcp

In een kroeg merkt men meestal dat er meer drankjes worden gekocht als de temperatuur omhoog gaat.
Het percentage bezoekers (P) dat meer dan 6 drankjes koopt hangt af van de temperatuur (T) volgens de formule:

Laat met een duidelijke redenering zien dat bij stijgende temperatuur het percentage inderdaad toeneemt, en bereken de grenswaarde van dit percentage.

Schrijf de formule voor P als één breuk.

De drie gezusters en de Groote Griet zijn twee kroegen naast elkaar aan de Grote Markt in Groningen.

De eigenaren vergelijken het aantal drankjes dat hun bezoekers op een donderdagavond gebruikten.

Dat leverde de volgende tabel op.

Aantal drankjes	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Aantal klanten Groote Griet	5	12	34	45	20	14	7	5	4	1
Aantal klanten Drie Gezusters	4	6	26	31	35	25	10	8	8	4

Wat zal, gezien het aantal mensen dat bij de Groote Griet meer dan 6 drankjes nam, de temperatuur volgens bovenstaande formule zijn geweest?

Leg uit door het Max V_cp te berekenen of het verschil in aantallen drankjes tussen beide kroegen gering, middelmatig of groot is.

tellen
gemiddelde
betrouwbaarheidsinterval
parameter berekenen
grenswaarde beredeneren

Veel onderzoek in laboratoria wordt gedaan aan muizen.

Om te testen of muizen slimmer zijn dan andere muizen laat men ze een doolhof doorlopen waarbij aan het uiteinde een stuk kaas ligt.

Hiernaast zie je zo'n doolhof. In elk van de verticaal getekende gangen zit een rood klapdeurtje, dat slechts in één richting kan worden gepasseerd. Dat verhindert dat een muis terug naar "boven" kan lopen.

Een muis kan langs een groot aantal routes van ingang naar uitgang lopen. In de figuur is een voorbeeld van een route getekend. Twee routes van ingang naar uitgang worden als gelijk beschouwd als dezelfde serie klapdeurtjes wordt gepasseerd.

Hoeveel verschillende routes zijn er van ingang naar uitgang in het getekende doolhof?

Daarbij meet men de gemiddelde tijd in seconden die het een muis kost om de kaas te bereiken.
Van een grote controlegroep van 130 muizen is die doorlooptijd gemeten. Daarbij heeft men verschil gemaakt tussen grijze muizen en witte muizen. De groep bestond uit 80 witte muizen en 50 grijze. De gemiddelde doorlooptijd van de hele groep bleek gelijk te zijn aan 228 seconden.
De gemiddelde doorlooptijd van de grijze muizen was 234 seconden.

Wat was de gemiddelde doorlooptijd van de witte muizen?

Men onderzoekt of de muizen slimmer worden als men het fosfodiësterase-4B (PDE4B) enzym blokkeert. Dan kan door de muizen het middel Sidenafil toe te dienen.
Men noemt een muis "slimmer" als de doorlooptijd minder dan 228 seconden is.
In het onderzoek bleek dat van de 130 muizen die Sidenafil toegediend kregen, er 106 slimmer waren.

Geef een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de proportie slimmere muizen in deze groep.

Hoe meer Sidenafil de muizen kregen toegediend, des te lager werd de gemiddelde doorlooptijd. In de volgende tabel staan de gegevens van 5 muizen.

hoeveelheid Sidenafil (mg)	0,83	1,54	1,92	2,24	2,41
gemiddelde doorlooptijd (sec)	224	200	186	175	169

Toon aan dat deze tabel bij benadering een lineair verband beschrijft en geef een formule voor dat verband.

Natuurlijk kan dit effect niet alsmaar doorgaan want dan zouden de muizen op een gegeven moment in nul seconden het doolhof doorlopen! Het blijkt dat bij een dosis van 3 mg de doorlooptijd (D in sec) gelijk was aan 148 sec, maar bij hogere doses neemt die doorlooptijd minder snel af.
Vanaf D = 3 bleek te gelden: D = ^a/_x + 253

Bereken de waarde van a

Beredeneer met de formule dat de doorlooptijd nadert naar een bepaalde grenswaarde.

procentberekening
betrouwbaarheidsinterval
normale verdeling
spreidingsdiagram

Hierboven zie je minister Kuipers van volksgezondheid op de corona-persconferentie van dinsdag 25 januari 2022. Hij laat hier twee diagrammen zien die rechts vergroot staan weergegeven.

Het linkerdiagram geeft aan hoeveel van de mensen in Nederland een boostervaccinatie hebben of alleen een basisvaccinatie of niet gevaccineerd zijn. Het rechterdiagram geeft deze aantallen voor de mensen die vanwege corona in het ziekenhuis liggen.

Neem aan dat Nederland 17440000 inwoners heeft en dat er op 25 januari 1028 mensen vanwege corona in een ziekenhuis lagen.

Bereken met deze gegevens hoeveel procent van de mensen met een boostervaccinatie in het ziekenhuis liggen en hoeveel procent van de ongevaccineerden in het ziekenhuis liggen.
Hoeveel keer zo groot is de kans om in het ziekenhuis te komen voor een ongevaccineerde vergeleken met iemand met een boosterprik?

Wilma Appie gelooft de cijfers van Kuipers niet. Zij leest af dat ongeveer 56% van de mensen in het ziekenhuis ongevaccineerden zijn, en denkt dat dat een veel te hoog aantal is.
Wilma belt met het UMCG in Groningen en krijgt van hen te horen dat er bij hen 22 coronagevallen liggen waarvan 11 ongevaccineerd.
"Zie je wel: 50%! Die 56% is gewoon keihard gelogen" roept Wilma woedend en ze gaat uiteraard direct een demonstratie organiseren.

Bereken welk 95%-betrouwbaarheidsinterval Wilma op grond van de gegevens uit Groningen mag opstellen voor de proportie ongevaccineerden in het ziekenhuis in Nederland

Na een vaccinatie heb je antistoffen in je bloed. De zogenaamde "spike-antistoffen Sars-Cov-2".
De Euroimmun-test meet door een vingerprik de hoeveelheid van deze antistoffen in je bloed. Hieronder zie je de uitslag van zo'n test.

Deze uitslag was een waarde van 106,01.
Je ziet rechts dat waarden boven de 35 positief zijn, en tussen de 25 - 35 grensgevallen

Als na de eerste prik het aantal antistoffen normaal verdeeld is met een gemiddelde van 45 en een standaardafwijking van 10, hoeveel procent van die mensen zal dan na 3 dagen een positief resultaat hebben?

Een groot aantal mensen die met Astra-Zeneca zijn gevaccineerd heeft op verzoek van de GGD 3 dagen na hun eerste prik en ook 3 dagen na hun tweede prik de hoeveelheid antistoffen in hun bloed gemeten. Dat leverde het volgende spreidingsdiagram op:

Leg uit hoe je aan dit diagram kunt zien dat de hoeveelheden antistoffen 3 dagen na de eerste prik niet normaal verdeeld zijn

Geef in de figuur op het werkblad aan bij welke mensen het aantal antistoffen 3 dagen na de tweede prik meer dan dubbel zo groot was als 3 dagen na de eerste prik.

standaardafwijking
klassenindeling
betrouwbaarheidsinterval
MaxVcp

Stappenteller

Twee groepen van 1000 HBO-studenten en 1000 Universiteits-studenten is gevraagd om een poos een stappenteller te dragen en bij te houden hoeveel stappen er gemiddeld per dag werden gezet.
Dat leverde de volgende tabel op:

gemiddeld aantal stappen per dag	HBO	Universiteit
2000 -< 4000	42	71
4000 -< 6000	96	243
6000 -< 8000	144	346
8000 -< 10000	251	102
10000 -< 12000	332	81
12000 -< 14000	103	60
14000 -< 16000	22	47
16000 -< 18000	10	50

Het gemiddelde van de HBO-studenten is ongeveer gelijk aan 9400 stappen en de standaardafwijking is 2800 stappen.
Je zou deze twee getallen nauwkeuriger kunnen berekenen.

Bereken deze twee getallen nauwkeuriger

Leg duidelijk uit waarom zo'n nauwkeuriger berekening niet zinvol is.

Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde aantal stappen van de HBO-studenten.

Bereken met het Max Vcp of het verschil in stappen tussen deze twee groepen gering, middelmatig of groot is.