© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Hyperbolische Functies.
       
Sommige combinaties van e-machten komen zo vaak voor, dat er een speciale naam voor is verzonnen.
Dat zijn de "Hyperbolische Functies" en die zien er zó uit:
       

       
Je spreekt het uit als  "sinushyperbolicus" en  "cosinushyperbolicus" en  "tangenshyperbolicus".
De grafieken van sinh(x) en  cosh(x) kun je snel schetsen door te bedenken dat het de somgrafiek van twee bekende grafieken is.  sinh(x) = 1/2ex + -1/2e-x  en   cosh(x) = 1/2ex + 1/2e-x  en dat geeft deze grafieken:
       

       
De grafiek van y = tanh(x) is wat lastiger direct te zien.
Hij staat hiernaast.

Hier heb je een paar gevallen waarbij die hyperbolische functies voorkomen:

     
• cosh beschrijft de vorm van een hangende ketting/draad
• cosh en sinh komen veel voor bij  natuurkundige verschijnselen als het uitdoven van licht, het absorberen van radioactiviteit
• tanh komt tevoorschijn bij de beschrijving van oceaangolven.
       
Vanwaar die vreemde namen eigenlijk?
       
Dat komt omdat die sinh en cosh nogal veel te maken hebben met een hyperbool. Net zoals de gewone sin  en cos nogal sterk verbonden waren met de cirkel.
       

       
Links zie je dat, als een punt P een cirkel doorloopt, de coördinaten van P te geven zijn als  P = (cost, sint).
Immers  cos2t + sin2t = 1  en de vergelijking  x2 + y2 = 1 is inderdaad precies die van de eenheidscirkel.
Nou als een punt P de "eenheidshyperbool" met vergelijking  x2 - y2 = 1  doorloopt, dan zijn de coördinaten te geven als 
P = (cosht, sinht)
Dan zou dus moeten gelden dat  cosh2t - sinh2t = 1.
Is dat zo?
JA!  Kijk maar:
       

       
Het enige verschil is:  bij de cirkelbeweging is die t de hoek (in radialen) met de positieve x-as. Bij de beweging langs de hyperbool is dat niet zo. Het blijkt dat t gelijk is aan het dubbele van de groene oppervlakte in de figuur hierboven. Dat is trouwens bij de cirkelbeweging ook zo!
(Het bewijs daarvan is hier niet zo belangrijk, als je echt echt wilt weten kijk dan maar hiernaast)
     
De afgeleiden.
       
De afgeleiden van sinx en cosx zijn respectievelijk  cosx en -sinx.
Laten we kijken of dat voor de hyperbolische functies ook zo is:

cosh(x) = 1/2(ex + e-x)    dus voor de afgeleide geldt:  (cosh(x))' = 1/2(ex - e-x)  = sinh(x)
sinh(x) = 1/2(ex - e-x)    dus voor de afgeleide geldt:  (sinh(x))' = 1/2(ex - - e-x)  = cosh(x)

Niet helemaal hetzelfde als bij de gewone goniometrische functies:  dat minteken mist.

Nu we (sinhx)'  en (coshx)'  eenmaal weten kan tanh(x)' makkelijk met de quotiëntregel worden berekend:
 

 
samengevat:

       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)