afstandsformule punt tot lijn

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Nog even de formule uit de vorige les:

Voor de afstand van punt P(x_P, y_P) tot de lijn l: ax + by = c geldt:

We zagen daar ook al een eerste toepassing: Geef de vergelijking van een lijn met gegeven afstand tot een gegeven punt.
Deze les komen er nog wat meer toepassingen.

Toepassing 1: Bissectrice.

Deze afstandsformule kunnen we nu handig gebruiken om de bissectrice van twee gegeven lijnen op te stellen. Immers, de bissectrice van twee lijnen is de verzameling van alle punten die gelijke afstanden tot beide lijnen hebben.
Dus om zo'n bissectrice te vinden kies je een punt (x, y) en daarvoor stel je de afstand tot de ene lijn gelijk aan de afstand tot de andere.

Voorbeeld.

Stel l is de lijn 3x + 4y = 12 en m is de lijn 5x - 12y = 20. Geef de bissectrice

Oplossing:
Voor een punt (x, y) van de bissectrice geldt dan:

kruislings vermenigvuldigen: 13 • |3x + 4y - 12| = 5 • |5x - 12y - 20|
Door die absolute-waarde strepen staan daar eigenlijk twee vergelijkingen, die een minteken van elkaar verschillen.
En dat moet natuurlijk ook, immers er zijn twee bissectrices; die rode lijn hierboven maar ook nog de lijn daar loodrecht op: die deelt de andere hoeken tussen l en m doormidden. Gelukkig maar dat we twee vergelijkingen vinden!!

vergelijking 1: 13(3x + 4y - 12) = 5(5x - 12y - 20)
39x + 52y - 156 = 25x - 60y - 100
14x + 112y = 56 en dat is de eerste bissectrice.

vergelijking 2: 13(3x + 4y - 12) = -5(5x - 12y - 20)
39x + 52y - 156 = -25x + 60y + 100
64x - 12y = 256 en dat is de tweede bissectrice.

Toepassing 2: Raaklijn door een punt buiten een cirkel.

Voorbeeld: Geef de vergelijking van de raaklijn aan de cirkel (x - 2)² + y² = 18 die door P(-4, 12) gaat.

Oplossing:
Stel de lijn y = ax + b
Als die door (-4, 12) gaat dan geldt 12 = -4a + b ofwel b = 12 + 4a
De lijn is dus y = ax + 12 + 4a ofwel ax - y + 12 + 4a = 0
Invullen in de afstandsformule met M(2, 0) en afstand √18:

eerste vergelijking: 6a + 12 = √(18a² + 18)
36a² + 144a + 144 = 18a² + 18
18a² + 144a + 126 = 0
a = -1 ∨ a = -7
Dat geeft de raaklijnen y = -x + 8 en y = -7x - 16

De vergelijking met het minteken geeft wederom dezelfde twee oplossingen.

Maar wacht eens even.....
Dit komt me bekend voor.........

Natuurlijk!
Het gewoon precies dezelfde vraag als in de vorige les:
Geef de vergelijking van een lijn met gegeven afstand tot een gegeven punt.
Zo'n lijn met een geven afstand tot een punt is natuurlijk gewoon een raaklijn aan de cirkel met als middelpunt dat gegeven punt en als straal die afstand:

Toepassing 3: Gemeenschappelijke raaklijn van twee cirkels.

Voorbeeld: De cirkels (x - 3)²+ y² = 4 en (x - 8)² + y² = 9 hebben, behalve de lijn x = 5 nog twee gemeenschappelijke raaklijnen. Zie bovenstaande figuur. Geef de vergelijkingen daarvan. Oplossing: Stel de lijn y = ax + b ofwel ax - y + b = 0 De middelpunten zijn (3, 0) met straal 2 en (8, 0) met straal 3 Dat geeft de volgende twee afstandsformules voor een punt van de lijn tot die middelpunten:

De eerste geeft √(a² + 1) = 0,5 • \|3a + b\| en dat kun je invullen in de tweede: \|8a + b\| = 1,5 • \|3a + b\| eerste vergelijking: 8a + b = 1,5(3a + b) en dat geeft b = 7a invullen in bijv. de eerste vergelijking geeft dan 10a = 2 • √(a² + 1) 100a² = 4a² + 4 geeft a = ±¹/₁₂√6 en dan is b = 7a = ±⁷/₁₂√6

OPGAVEN

Gegeven is de cirkel c: x² + y² - 14x - 14y + 64 = 0 en het punt P(-1, 5).
Geef vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel die door P gaan.

Gegeven zijn de lijn l: 6y = 8x + 30 en de lijn m: 24y + 7x = 120
Geef vergelijkingen van de bissectrices van beide lijnen, en toon met die formules aan dat deze bissectrices loodrecht op elkaar staan.

Gegeven zijn de cirkels:
c₁: middelpunt (0, 4) en straal 5
c₂: middelpunt (22¹/₂, 9) en straal 10

Er zijn vier raaklijnen die beide cirkels raken. Zie de volgende figuur.

Geef de vergelijkingen van deze raaklijnen.