© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Exacte waarden voor sinus en cosinus.
Voor bijna alle hoeken α mag je sinα en cosα wel afronden, maar er zijn er een paar die je exact hoort te weten.
Die volgen namelijk nogal rechtstreeks uit Pythagoras.
Hiernaast staat een gelijkzijdige driehoek getekend. Alle zijden zijn 1, en de hoeken zijn 60º. Teken de hoogtelijn CM, dan is AM = MB = 1/2 en de hoeken bij C zijn 30º.
Pythagoras levert op dat CM2 = AC2 - AM2 = 1 - 1/4 = 3/4
Dus CM = √3/4 = √3/√4 = √3/2 =  1/2√3

In driehoek AMC kun je nu met sos-cas-toa ontdekken dat:
 
sin60º = CM/AC = 1/2√3
cos60º = AM/AC = 1/2  
tan60º = CM/AM = √3 		sin30º = AM/AC = 1/2
 cos30º = CM/AC = 1/2√3
tan 30º = AM/MC = 1/3√3

Hiernaast staat een gelijkbenige rechthoekige driehoek getekend met rechthoekszijden 1 (je geo-driehoek, zeg maar). De schuine zijde is dan (Pythagoras):  √(12 + 12 ) = √2

sos-cas-toa levert dan op, dat:

sin 45º = 1/√2 = 1/2√2
cos 45º = 1/√2 = 1/2√2
tan 45º = 1/1 = 1

Leer de volgende exacte-waarden-tabel uit je hoofd:
hoek α (radialen) 0 1/6π 1/4π 1/3π 1/2π
sin α 0 1/2 1/2√2 1/2√3 1
cos α 1 1/2√3 1/2√2 1/2 0
tan α 0 1/3√3 1 √3 ×
Met deze tabel én de eenheidscirkel in gedachten kun je ook de exacte waarden van sinus, cosinus en tangens voor een groot aantal hoeken die niet tussen 0 en 1/2π liggen berekenen.
Drie voorbeelden zullen hopelijk duidelijk maken hoe dat kan.

Je kunt trouwens ook alleen de sinus en de cosinus leren (die komen het vaakst voor)
De tangens kun je dan daaruit zelf berekenen, want er geldt:
   

Voorbeeld 1. :  Bereken de exacte waarde van  sin(2/3π)

Oplossing:
In de linkerfiguur hiernaast is in een eenheidscirkel een hoek van 2/3π getekend, en dus is de sin2/3π gelijk aan de lengte van het rode lijnstuk.

Maar in de rechterfiguur is er gespiegeld in de y-as. De hoek wordt dan 1/3π, en nu zie je dat  sin1/3π óók gelijk is aan de lengte van het rode lijnstuk!
En sin1/3π staat wél in onze tabel.

Conclusie:   sin2/3π = sin1/3π = 1/2√3

 
Voorbeeld 2 :  Bereken de exacte waarde van cos(11/6π)

Oplossing:

In de linkerfiguur hiernaast is in een eenheidscirkel een hoek van 11/6π getekend, en dus is de cos11/6π gelijk aan de lengte van het blauwe lijnstuk.

Maar in de rechterfiguur is er gespiegeld in de oorsprong. De hoek wordt dan 1/6π, en nu zie je dat cos1/6π óók gelijk is aan de lengte van het blauwe lijnstuk!
En cos1/6π staat wél in onze tabel.
Het enige is, dat de cos11/6π negatief is, en cos1/6π positief.

Conclusie:   cos11/6π = -cos1/6π = -1/2√3
   
Voorbeeld 3:   Bereken de exacte waarde van tan(13/4π)  

Oplossing:

Deze keer geen eenheidscirkel. Je berekent de tangens van een hoek gewoon door van de sinus en de cosinus apart te bekijken of ze positief of negatief zijn:
 
Valsspelerij....
 
Natuurlijk zijn er ook leerlingen die te lui zijn om bovenstaande tabel uit hun hoofd te leren. Ik ben er zeker van dat dat niet voor jou geldt, maar als je "vrienden"  hebt die liever niets uit hun hoofd leren zou je hen het volgende trucje kunnen vertelen.

Stel dat je wilt berekenen hoe groot  sin(1/3π) is, en je weet dat niet meer uit je hoofd.
Nou, dan zet je je GR op radialen en dan toets je in: sin (π/3)
Daar komt uit 0,8660......
Je weet niet hoe groot dat is, maar wel dat het één of andere wortel moet zijn....
Nou dan doe je dat getal gewoon in het kwadraat:  dat geeft 0,75
AHA!!  dus  sin(1/3π) = √3/4 = 1/2√3

Stel dat je wilt berekenen van welke hoek de sinus gelijk is aan 1/2√2, en je weet dat niet uit je hoofd.
Nou, dan zet je je GR op radialen en toets je in  sin-1(1/2√2)
Daar komt uit  0,78539.....
Je weet niet hoe groot dat is, maar wel dat het één of andere aantal keer π moet zijn....
Nou dan doe je dat getal gewoon gedeeld door π  dat geeft 0,25
AHA!!  dus  sin-1(1/2√2) = 1/4π
De tekens van sinus, cosinus en tangens.
   
Hier is nog even een overzichtje van de sinus en de cosinus en de tangens om te zien wanneer ze nou positief of negatief zijn. Dat volgt allemaal natuurlijk uit de eenheidscirkel en uit het feit dat  tan(α) = sin(α)/cos(α)
   

   
 
 
OPGAVEN
1. Bereken de exacte waarde van:
                   
a. sin(-1/3π)   e. cos(12/3π)        
                   
b. sin(11/6π)   f. tan(5/6π)        
                   
c. tan(11/3π)   g. tan(-2/3π)        
                   
d. cos(π)   h. sin(13/4π)        
2. Hiernaast is de bekende driehoek ABC getekend met hoeken van 45º- 45º- 90º en zijden   AB = 1,  AC = 1 en BC = √32.

Lijn CD deelt de hoek van 45º in twee hoeken van 22,5º

Vanaf D is een lijn DE loodrecht op CB getekend.
Stel DA  = x

a. Druk de zijden CD en CE uit in x  
     
b. Toon aan dat de driehoeken CDE en  CBA gelijkvormig zijn.
     
c. Gebruik de gelijkvormigheid van vraag b) om de grootte van  DA te berekenen.
     
  d. Toon aan dat  tan(22,5°) = 1/(√2 + 1)
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)