© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Kromme door de toppen  
       
Je weet intussen al dat een functievoorschrift met een parameter eigenlijk een hele familie van functies voorstelt.
Laten we eens zo'n familie plotten.
Laten we een echt familieportret maken.....

Neem bijvoorbeeld de paraboolfamilie  y =  x2 + px + 2
Hieronder zie je voor een aantal waarden van p de bijbehorende grafiek van fp
     
GR-trucje:  deze grafieken kun je in één keer met je GR plotten :    Y1 = X^2 + {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}X + 2
en dan moet je die dikke komma (boven de 7) gebruiken.
     

Een mooie waaier, vind je niet?
Het leuke komt als je alle toppen er bij in tekent:
       

       
Die rode toppen liggen samen weer op een andere kromme; zo te zien een bergparabool.
Zou dat inderdaad zo zijn????
Laten we een formule voor deze rode  kromme door de toppen op gaan stellen.
       
Stap 1:  
Voor de top stel je uiteraard de afgeleide gelijk aan nul.
In dit geval geeft dat   y ' = 2x + p  dus moet gelden   2xT + p = 0
Ik heb de x van de top even xT genoemd zodat we niet vergeten dat dit alleen geldt voor de x van de top.

Stap 2:
Maak van deze vergelijking  p = .....  (iets netter gezegd:  "Druk p uit in x")
Dat geeft  p = -2xT

Stap 3:
Vul deze vergelijking voor p nu in in de oorspronkelijke functievergelijking
Wat je dan krijgt geldt alleen voor de top, dus noemen we y nu ook yT
Dat geeft   yT = xT2 + (-2xT)xT + 2
Dat kun je vereenvoudigen tot  yT = 2 - xT2   en dat is precies de vergelijking van de rode bergparabool hierboven!
       
Nog even samengevat:

       
N.B.  Bij parabolen kun je in plaats van die eerste stap natuurlijk ook zeggen (met een oude formule)    xT = -b/2a
Dat zou in het bovenstaande voorbeeld direct geven  xT =  -p/2
Maar ja, dat werkt alleen bij parabolen, en die f '(x) = 0 werkt altijd........
       
 
 
OPGAVEN
       
1. Geef een vergelijking van de kromme door de toppen van de volgende families van functies:
       
  a. f(x) =  2x2 - px + p
       
  b. f(x) = x3 - 12px + 5
       
  c. f(x) = px2  - x + 2p
       
2. Gegeven zijn de functies: 
 

       
  Geef een vergelijking van de kromme door de toppen van de grafieken van deze functies.
       
3. De kromme door de toppen van de paraboolfamilie  y = ax2 + bx + 4  gaat door (2, 6)
Bereken a en b.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)