ingeschreven en omgeschreven cirkel

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1. De ingeschreven cirkel van een driehoek.

In elke driehoek kun je een cirkel tekenen die "er precies in past". Dat wil zeggen dat elke grotere cirkel niet in de driehoek past. Die cirkel raakt dus alle zijden van de driehoek (als er nog ruimte was kon je hem een klein stukje opschuiven en groter maken). 't Is of je een ballon in de driehoek legt en hem dan langzaam opblaast totdat hij precies "klemzit".

Dat betekent dat de zijden van de driehoek de raaklijnen aan de cirkel zijn.
Maar dat betekent (zie de figuur) dat het punt M gelijke afstanden tot de raakpunten P, Q en R heeft (namelijk de straal van de cirkel)

MP staat loodrecht op BC (eigenschap van de raaklijn aan een cirkel) dus is MP ook de kortste afstand van M naar PC. En zo zijn ook MQ en MR de afstanden van M tot BC en AC. Kortom: M heeft gelijke afstanden tot alle zijden van de driehoek.

Maar hoe heetten alle punten die gelijke afstanden tot twee lijnen hadden ook alweer? Precies! Dat was de bissectrice!!

Conclusie:

Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek
is het snijpunt van de bissectrices van de zijden.

Een netter bewijsje zie je hiernaast.

MQ = MP (straal van de cirkel)
MB = MB (nogal logisch)
∠MQB = ∠MPB = 90º (raaklijneigenschap van cirkel)

Daaruit volgt ΔPMB ≅ ΔQMB
Dus is ∠PBM = ∠QBM
Dus is BM bissectrice van ∠PBQ

2. De omgeschreven cirkel van een driehoek.

In elke driehoek kun je een cirkel tekenen die "er precies omheen past". Dat wil zeggen dat alle drie de hoekpunten precies op de cirkel liggen. 't Is of je een ballon om de driehoek legt en hem dan langzaam leeg laat lopen totdat de driehoek precies "klemzit".

Dat middelpunt M heeft dus gelijke afstanden tot de drie hoek[punten van de cirkel (namelijk de straat van de cirkel). Dus bijvoorbeeld MA = MB

Daar gaan we weer:
Hoe heetten alle punten die gelijke afstanden tot twee punten A en B hadden ook alweer? Precies! Dat was de middelloodlijn van AB.

Conclusie:

Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek
is het snijpunt van de middelloodlijnen van de hoekpunten

Stelling van Thales.

Laten we een speciaal geval bekijken van een omgeschreven cirkel van een driehoek, namelijk het geval waarbij één van de zijden van de driehoek de middellijn van de cirkel is.

In de figuur hiernaast is AB een middellijn van de cirkel.

Omdat MA en MP en MB allemaal gelijk zijn aan de straal van de cirkel, zijn de driehoeken MAP en MBP gelijkbenig.
Dat betekent dat de basishoeken gelijk zijn. In de figuur hiernaast twee gelijke rode en twee gelijke groene hoeken.
Omdat de hoeken van een driehoek samen 180º zijn, zijn twee rode plus twee groene hoeken samen 180º.
Dus één rode en één groene hoek zijn samen 90º
Dus ∠APB = 90º

Als de middellijn van de omgeschreven cirkel een zijde van de driehoek is, dan is dat de schuine zijde van een rechthoekige driehoek.

Daar hoort het plaatje hiernaast bij.
Al die gele stippen zijn rechte hoeken.

Je mag de eigenschap van die rechte hoek ook omkeren. Als je dat doet krijg je de stelling van Thales:

Als ABC een rechte hoek C heeft, dan is er een cirkel door A, B en C
waarvan AB de middellijn is.

(je zou de eerste stelling ook wel de omgekeerde stelling van Tales kunnen noemen)

OPGAVEN