© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Er gaat iets mis!
 
Dat primitiveren en die oppervlaktes uitrekenen liep lekker tot nu toe.
Inderdaad:  TOT NU TOE.
Laten we de oppervlakte onder de grafiek van  y = 12 - x2  tussen x = 0 en x = 6 even snel uitrekenen. Dat kan nooit moeilijk zijn. Daar gaat íe:
 
 
Hûh?

Dat lijkt me sterk.......

Nog maar een keer narekenen:
 
 
Ja. Helaas wéér nul.
Wat hebben we fout gedaan? Of klopt ons systeem van integreren dan tóch niet?
 
Hiernaast zie je wat er werkelijk aan de hand is.

De grafiek van deze functie loopt op dit interval voor een deel boven de x-as, maar ook voor een deel eronder. En dat deel eronder levert de problemen.
Bedenk dat er bij zo'n integraal eigenlijk staat:

En dat dat afkomstig was van allemaal rechthoekjes waarvan de breedte dx was en de hoogte y
Maar in de figuur hiernaast zie je dat dat voor het rode deel fout gaat, immers daar is y negatief, dus ook de lengte van zo'n rechthoekje, dus ook de oppervlakte.
Het groene deel geeft een positieve oppervlakte, het rode deel een  negatieve en kennelijk zijn die twee even groot zodat de totale oppervlakte nul wordt.

 
Wat kunnen we daaraan doen?

Nou de oplossing is heel simpel: we willen graag dat een oppervlakte altijd positief is, dus moeten we het tegengestelde van het rode deel nemen (dat is immers negatief?).
Splits de som daarom is twee delen: een groen deel en een rood deel.
de grens daartussen ligt bij x = √12 (het snijpunt met de x-as).
Het groene deel heeft oppervlakte:

Het rode deel heeft oppervlakte:

Nu ook positief.
De totale oppervlakte wordt dan beide delen samen:  16√12

Conclusie:
 

Stukken onder de x-as geven een negatieve oppervlakte,
dus daar moet een extra minteken voor.
 
De oppervlakte tussen grafieken
Twee grafieken
Hieronder staan een paar mogelijke liggingen van de grafieken waartussen je de oppervlakte wilt berekenen. In zulke gevallen bekijken we het steeds in etappes:

Stel dat de vraag is hoe groot de gele oppervlakte tussen de grafieken van f en g  is (in de linkerfiguur). 
In het midden hebben we de rode oppervlakte (onder de grafiek van f) uitgerekend. 
Maar nu hebben we duidelijk teveel. Wat moet er weer af?
Juist! De blauwe oppervlakte onder de grafiek van g rechts. 

In de volgende twee gevallen gebruiken we steeds dit principe. Daarbij moet je eraan denken dat bij een oppervlakte onder de x-as er een minteken voor de integraal moet staan.

En nou komt het opvallende: op de onderste regel van deze drie plaatjes (bij de integralen) staat steeds hetzelfde!!!
plaatje 1:   f - g
plaatje 2:  f + (-g)  en dat is ook  f - g
plaatje 3:  -g - (- f)  en dat is  -g + f  en jawel hoor!  Ook al  f - g
Conclusie:
Het is steeds "Bovenste - Onderste"

Tweede conclusie:

De plaats van de x-as doet er niet toe
 
Meer dan twee grafieken.
 
Stel dat we de oppervlakte van het gebied V tussen de drie grafieken hiernaast willen uitrekenen.
De grafieken horen bij de functies
f(x) = 8/x  en  g(x) = 4x  en  h(x) = x2

Dan kan dat niet in één keer met een oppervlakte tussen twee grafieken, omdat het gebied V niet steeds tussen dezelfde twee grafieken in ligt.
De oplossing is simpel:  Splits het gebied in stukken waarbij dat wél zo is!!!

Hieronder staat in een uitgebreid "stripverhaal"  hoe je dat een beetje systematisch kunt doen.
 

 
In het gebied V zijn verticale zwarte streepjes getekend.
In het linkerplaatje hierboven lopen die streepjes steeds van de blauwe naar de rode grafiek. De oppervlakte zal daar dus gelijk zijn aan de oppervlakte tussen de blauwe en de rode grafiek.
In het middelste plaatje is het grensgeval bereikt. Als we nu nog verder naar rechts gaan verandert de situatie, want dan gaan de streepjes tussen de blauwe en de groene grafiek lopen
In het rechterplaatje is dat het geval, dus is de oppervlakte gelijk aan de oppervlakte tussen de blauwe en de groene grafiek.
Als je berekent dat de snijpunten van de grafieken liggen bij x = √2 en x = 2 en x = 4  (doe dat zelf maar), dan geeft dat dus:
 

Uitrekenen is nog slechts een formaliteit, doe dat zelf maar (er komt trouwens 8 uit).
 
 
 
OPGAVEN
1. Gegeven is de functie  f(x) = 60x2 - 12x3 .
We zijn geïnteresseerd in de oppervlakte tussen de grafiek van f en de x-as voor x tussen 0 en 6.
Bereken die oppervlakte algebraïsch.
     
2. a. De grafieken van f(x) = 8 - x2 en  g(x) = -2 + x sluiten samen een vlakdeel in (zie figuur linksonder).
Bereken algebraïsch de oppervlakte van dat vlakdeel.
 
b. De grafieken van  f(x) = 2√x - 8  en  g(x) = 7 - 3√x sluiten, samen met de y-as een vlakdeel in (zie figuur midden onder).
Bereken algebraïsch de oppervlakte van dat vlakdeel.
 
c. De grafieken  van f(x) = x3 - 5x2 + 4x  en  g(x) = x2 - 2x sluiten samen twee vlakdelen in (zie figuur rechtsonder).
Bereken algebraïsch de oppervlakte van deze beide vlakdelen.
       

 
3. Er zijn drie vlakdelen die geheel worden ingesloten door de grafieken van y = 3x2 - 8  en   y = 28 - x2  en  y = 4x + 7
Bereken de oppervlakte van elk van die vlakdelen.
4. Gegeven is de functie:  f(x) = √(x - 3)

De lijn k raakt de grafiek van f in het punt A(7, 2). Zie de figuur hieronder.
   
 

   
  a Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van k.
   
  De grafiek van f, de lijn k en de x-as sluiten een vlakdeel in.
   
  b. Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.
 
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)