| |
|
Optimaliseren bij grafieken. |
 |
|
|
Als het gaat om afstanden of
oppervlakten bij grafieken waar een functievoorschrift van is gegeven,
dan hoef je eigenlijk maar op één ding te letten:
|
|
De y
van een punt op de grafiek vind je
door de x in de gegeven formule in te vullen |
|
|
|
|
|
Als je dat logisch vindt, zelfs
misschien eigenlijk een beetje domme opmerking, een dooddoener, een open
deur, een vanzelfsprekendheid, ga dan vooral meteen verder naar de
opgaven aan het eind.
Vertrouw je de zaak niet helemaal, lees dan de volgende twee voorbeelden
nog even door. |
|
|
| voorbeeld 1.
De afstand tussen twee grafieken. |
| Hiernaast staan een gedeelte van
de grafiek van f(x) = 2x3
- 3x2
en de lijn y = 2x getekend. Tussen beide grafieken zijn
een aantal verbindingslijnstukken getekend. Bereken algebraïsch de
lengte van het langst mogelijk verbindingslijnstuk tussen x = 0
en x = 2 Oplossing.
De lengte van zo'n lijnstuk is de y van de lijn 2x min de
y
van de grafiek.
Dus L = 2x - (2x3
- 3x2
) = 2x - 2x3 + 3x2
Afgeleide nulstellen: 2 - 6x2 + 6x =
0
⇒ x = 1,264 (met de ABC formule (de tweede oplossing ligt niet tussen 0 en 2)
Daaruit volgt L ≈
3,28 |
|
|
| |
|
Voorbeeld 2. Een
oppervlakte.
Hiernaast staat een gedeelte van
de parabool y = 4x - x2 . Vanaf een punt
P (xP tussen 0 en 4) wordt een loodlijn op de x-as
neergelaten naar punt Q.
Wat is de maximale oppervlakte van driehoek OPQ?
oplossing.
De oppervlakte is 0,5 • basis • hoogte = 0,5 • OQ • PQ
OQ is gelijk aan x
PQ is gelijk aan y en dat is 4x - x2
Dat geeft opp. = 0,5 • x • (4x - x2
) = 2x2 - 0,5x3
Afgeleide nulstellen: 4x - 1,5x2 = 0
⇒ x = 0 ∨
x = 12/3.
De tweede is de goede en geeft oppervlakte ongeveer 3,241 (exact 175/54) |
 |
|
| |
| |
|
| |
|
|
|
OPGAVEN |
| |
|
| 1. |
Binnen de parabool y
= -x2 + 4x + 60 wordt een rechthoek getekend
waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de x-as en de y-as,
en waarvan de oorsprong een hoekpunt is. Het hoekpunt diagonaal
tegenover de oorsprong ligt op de parabool en rechts van de y-as. Zie de figuur
hiernaast.
Bereken de maximale oppervlakte van zo'n rechthoek.
|
|
|
|
|
|
| 2. |
Gegeven zijn de
parabolen y = -4 - x2
en y = 2x2 - 8x + 14.
Zie de figuur hiernaast
Bereken de minimale verticale afstand tussen deze twee
parabolen. |
|
|
|
|
|
| 3. |
Gegeven is de grafiek van
f(x) = 1 - 1/x
Vanaf punt A(6,0) trek je een lijn naar een punt B van de
grafiek.
Daarbij is xB > 1
C is de projectie van B op de x-as.
Bereken de maximale oppervlakte van driehoek ABC. |
 |
| |
|
|
| 4. |
Gegeven is de functie
f(x) = 30x2 -
6x3
met x in [0,5]
Zie de grafiek hiernaast.
Op de grafiek van f ligt een punt B met x-coördinaat
b
C is de projectie van B op de x-as en A is het punt
(5,0)
Voor de oppervlakte van driehoek ABC geldt:
O = 3b4 - 30b3 +
75b2 |
 |
| |
|
| |
a. |
Toon deze formule aan. |
| |
|
|
| |
b. |
Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van driehoek ABC. |
| |
|
|
|
| 5. |
Onder de parabool y = 6x
– 2x2 wordt een rechthoek ABCD getekend
waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de x-as en de y-as
en waarvan de oorsprong een hoekpunt is. De hoekpunten C en D
liggen op de parabool. Stel dat de x-coördinaat van punt
A gelijk is aan p. Zie de figuur hiernaast.
Voor de oppervlakte O van de rechthoek geldt dan:O
= 4p3
– 18p2 + 18p |
 |
| |
a. |
Toon dat aan. |
| |
|
|
| |
b. |
Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van
rechthoek ABCD. |
| |
|
|
|
| |
c. |
Bereken algebraïsch de maximale
omtrek van rechthoek ABCD. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |