Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Buigraaklijn

Deze les zullen we wat verschillende soorten opgaven met buigpunten bekijken.
Eentje komt erg vaak voor; examenmakers hebben er een voorkeur voor omdat je van alles met afgeleide en tweede afgeleide moet kunnen en moet snappen
Dat is het opstellen van een buigraaklijn.

Het woord zegt het eigenlijk al: de buigraaklijn aan een grafiek is de raaklijn aan een grafiek in een buigpunt van die grafiek.
Het raakpunt is dus tegelijkertijd een buigpunt.
Het opstellen van zo'n buigraaklijn zullen we aan de hand van een zeer uitgebreid voorbeeld stapsgewijs bespreken (waarbij we stiekem ook nog allerlei andere wiskundige zaken herhalen)

*Uitgebreid* Voorbeeld. Gegeven is de functie:

Geef een vergelijking van de buigraaklijn aan de grafiek van f

Uitgebreide Oplossing.
Laten we eerst het buigpunt bepalen. Met de quotiëntregel:

En dan nog een keer:

Voor het buigpunt moet de teller nul worden: -x^-0,5 + 2 - x^0,5 + 4x^-0,5 - 4 - 2 + 2x^0,5 = 0 3x^-0,5 + x^0,5 - 4 = 0 Vermenigvuldig alles met x^0,5: 3 + x - 4Öx = 0 Noem nu Öx = p p² - 4p + 3 = 0 en dat geeft p = 3 ∨ p = 1 Dan is x = 9 ∨ x = 1 Voor x = 1 bestaat de functie f niet dus de enige oplossing is x = 9 Het buigpunt is het punt (9, -18) Nu nog de raaklijn. De helling in x = 9 is f '(9) = -¹/₂ De raaklijn is dus y = -¹/₂x + b Het raakpunt invullen geeft -18 = -¹/₂ · 9 + b dus b = -13¹/₂ De buigraaklijn is de lijn y = -¹/₂x - 13¹/₂

Nog even de 4 denstappen samengevat:

Opstellen buigraaklijn:


1.		Bereken de x van het buigpunt door op te lossen f '' = 0

2.		Bereken de y van het buigpunt door de x in de formule van f in te vullen.

3.		Bereken de helling in het buigpunt (dat is de a van de buigraaklijn) door de x in de f ' in te vullen.

4.		Bereken de b van de buigraaklijn door het raakpunt in te vullen in y = ax + b

OPGAVEN

Geef op algebraïsche wijze de vergelijkingen van de buigraaklijn(en) aan de volgende grafieken:

y = x³ - 9x² + 3x + 12

y = x² + 648Öx

y = Öx + ¹/_x

Gegeven is de functie f(x) = 12x⁴+ 4x³ + 2x.

Hiernaast staat de grafiek van f(x) getekend in de buurt van de oorsprong (ongeveer tussen x = -1 en x = 1)

Je kunt het niet goed zien, maar de grafiek van f blijkt op dit kleine deel al twee buigraaklijnen te hebben.

Bereken algebraïsch het snijpunt van die twee buigraaklijnen.

Gegeven is de functie f(x) = x · 2^-x
Zie de grafiek hiernaast.
Het lijkt erop dat de grafiek van f een buigpunt heef, maar omdat wij nog niet weten wat de afgeleide functie van 2^x is kunnen we dat buigpunt niet algebraïsch berekenen.

Geef met behulp van je GR een vergelijking va de buigraaklijn aan de grafiek van f.