© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Primitiveren met de kettingregel.
Het schema om te primitiveren is tot nu toe als volgt:

Laten we het schema toepassen op  f(x) = (2x + 1)5
stap 1. Met (      )5  zou ik gokken   (     )6 .   Probeer daarom  F(x) = (2x + 1)6
stap 2. Voor F' heb je nu de kettingregel nodig:  F'(x) = 6 • (2x + 1)5 • 2      (die laatste 2 is van de kettingregel)
Dus  F'(x) = 12 • (2x + 1)5
stap 3. Die 12 is teveel, die willen we niet, dus vermenigvuldigen we onze eerste poging met 1/12.
stap 4. De tweede poging is  F(x) = 1/12 • (2x + 1)6
stap 5. De afgeleide daarvan is  6 • 1/12 • (2x + 1)5 • 2 =  (2x + 1)5      KLOPT!!!
   
Je ziet natuurlijk al wat er aan de hand is:
   
Als je bij differentiëren met de kettingregel een extra factor krijgt,
dan moet je daar met primitiveren rekening mee houden!
WAARSCHUWING!!
Dat "kloppend maken" door te kijken wat er teveel is of wat er nog ontbreekt werkt alleen met constante getallen.
Daar moet géén x meer inzitten!!!
Voorbeeld:   Geef de primitieve van f(x) = (x2 + 3)2
   
  Hoe het niet moet.
Er staat (     )2  dus zou je eerste poging zijn  (     )3
Dat geeft  afgeleide  3 • (x2 + 3)2 • 2x     (die 2x is van de kettingregel)
Die 2x is teveel dus we vermenigvuldigen met 1/2x
Dat geeft als tweede poging  F(x) = 1/(2x) • (x2 + 3)3
Maar die is helemaal FOUT!  In beide stukken zitten x-en, dus daar staat ineens f • g dus om te differentiëren moeten we de productregel gebruiken. Dat geeft grote chaos!!!!! Zo komen we nooit meer bij de oorspronkelijke f  terecht!!!

Hoe het wel moet.
Bovenstaande methode loopt vast, dus we gaan maar gewoon de haakjes wegwerken;
f(x) = (x2 + 3)2 = x4 + 6x2 + 9
De primitieve daarvan is  eenvoudig:   F(x) =  1/5x5 + 2x3 + 9x
   
 
 
OPGAVEN
   
1. Geef een primitieve van de volgende functies:
         
  a. f(x) = (2 - 5x)4 e. f(x) = 8/√(7 -  x)
         
  b. f(x) = (1/2x + 3)5 f. f(x) =  (4 - 2x)2 +  √(1 + 3x)
         
  c. f(x) = √(2 + 6x) g. f(x) = (4x + 5x2)2
         
  d. f(x) = 4/(3x + 1)2 h. f(x) = (2 + 3x) • √(3x + 2)
         
2. Bereken de oppervlakte onder de volgende grafieken:
         
  a. f(x) = √(4x - 12) + √(100 - 10x)  tussen x = 3 en x = 10
         
  b. y =  1/(4x + 8)2  tussen x = 1 en x = 3
         
3. De grafieken van
f(x) = 0,5√(16 - x) 
en   g(x) = √(2x + 4) 
en de x-as sluiten samen een vlakdeel V in.

Bereken exact de oppervlakte van V.
         
4. In de figuur hiernaast zie je de grafieken van 
y = (2x - 1)5  en   y = (1 - 2x)5

De lijn y = p snijdt de grafiek van
y = (1 - 2x)5 in de y-as.

De lijn y = p en de grafieken van deze twee functies sluiten samen een gekleurd vlakdeel in.

Bereken exact de gekleurde oppervlakte
   
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)