© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Wentelen om de x-as.

Bekijk een vlakdeel onder de grafiek van een willekeurige functie.
Hiernaast is als voorbeeld de functie

f(x) = x3 - 7x2 + 12x + 6 genomen, tussen x = 0 en x = 5
Als je dat vlakdeel om de x-as wentelt, dan krijg je een soort van "vaas". De vraag is:  Hoe groot is de inhoud van die vaas?
Laten we de vaas in allemaal kleine schijfjes snijden

Eén zo'n schijfje is ongeveer een cilinder met hoogte dx en straal r, dus inhoud  πr2 • dx

Maar nu komt de verrassing: r is gelijk aan de hoogte van de grafiek:

r = f (x)
De totale inhoud is nu de integraal van al die schijfjes:

Dit is een handige formule, want hij geldt nog steeds voor elke willekeurige functie f.
Kortom, onthoud deze formule:

Toegepast op onze vaas moeten we integreren tussen x = 0 en x = 5.
't Is met dat kwadraat wél even stug haakjes wegwerken:
f 2 = (x3 - 7x2 + 12x + 6) • (x3 - 7x2 + 12x + 6)
= x6 - 7x5 + 12x4 + 6x3 - 7x5 + 49x4 - 84x3 - 42x2 + 12x4 - 84x3 + 144x2 + 72x + 6x3 - 42x2 + 72x + 36
= x6 - 14x5 + 73x4 + -156x3 + 60x2 + 144x + 36
Dat geeft:


Dat is ongeveer 1358.
   
Wentelen om een andere horizontale lijn.
   
Natuurlijk kun je vlakdelen ook heel goed wentelen om een andere horizontale lijn.
Neem bijvoorbeeld het parabooldeel hiernaast tussen de grafiek van y = -x2 + 4x + 4    en  y = 7
Stel dat je dat wilt wentelen om de lijn y = 7.......

Hoe pak je dat aan?

Dat is verrassend makkelijk.
Je schuift gewoon de hele figuur 7 omlaag!!!!!
Het resultaat wat je op die manier krijgt kun je dan weer gewoon wentelen om de x-as, immers daar is de lijn y = 7 naar toe geschoven!

   

   
In die rechterfiguur kun  je gewoon om de x-as wentelen.
De functie is nu alleen wel  y = -x2 + 4x - 3 geworden.
   
   
 
  OPGAVEN
1. a. De parabool  y = 8x - 2x2  wordt tussen x = 0 en x = 2 gewenteld om de x-as.
Bereken algebraïsch de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
       
b. De halve cirkel   y = √(25 - x2)  wordt gewenteld om de x-as.
Bereken algebraïsch de inhoud van de bol die zo ontstaat. 
Laat zien dat voor die inhoud geldt  I = 4/3πr3
       
c. Het deel van de grafiek y = 4 - √x tussen x  = 0 en x = 16  wordt gewenteld om de x-as. Bereken algebraïsch de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
 
2. Het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van y = x4 en y = x   met x > 0 wordt gewenteld om de x-as. Bereken algebraïsch de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
       
3.

Gegeven zijn de functies:     f(x) = x2 • √x   en    g(x) = ax

V is het vlakdeel dat ingesloten wordt door de grafieken van f en g.
Als V om de x-as gewenteld wordt, dan is de inhoud van het omwentelingslichaam dat dan ontstaat gelijk aan 216π.
Bereken in dat geval het getal a.
4. V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = 16 - x2, de y-as en de positieve x-as.
De lijn x = a verdeelt V in twee delen V1 en V2.
       
  a. Bereken voor welke a de oppervlakten van V1 en V2 gelijk zijn. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
       
  b. V1 en V2 wentelen om de x-as. Zo ontstaan de lichamen L1 en L2.
Bereken voor welke a de inhouden van L1 en L2 gelijk zijn. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
       
5. Gegeven is de functie  f(x) =  8/(2x + 1)
Het gebied G wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f en de lijnen x = 1
en x = 2.
       
  a. Bereken exact de oppervlakte van gebied G. Schrijf je antwoord als één logaritme.
       
  b. Bereken door middel van integreren de inhoud van het lichaam L dat ontstaat door gebied G te wentelen rond de x-as.
       
  c. Er zijn twee waarden van p waarvoor de lijn y = -2x + p de grafiek van f raakt.
Bereken die twee waarden.  

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)