wentelen y-as (2)

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Wentelen om de y-as

Hiernaast zie je (een deel van) de grafiek van y = √x.
Om precies te zijn het deel voor x tussen 0 en 4.

Als je dat grafiekdeel wentelt om de y-as dan krijg je zoiets als hieronder. In deze figuur is al een dun schijfje (dikte dy) van dit lichaam getekend.

De inhoud van dat ene schijfje is gelijk aan grondvlak ´ hoogte ('t is immers een cilinder).
Het grondvlak is een cirkel met straal x en de hoogte is dy. Dat geeft voor de inhoud px²dy

Voor de hele inhoud van dit omwentelingslichaam moeten we al die schijfjes bij elkaar optellen, en liefst zo dun mogelijk maken. Voel je hem al aankomen.....? Juist!...... Een integraal.

Omdat er achter de integraal dy staat is y de variabele waar het om gaat. Dat betekent dat we alle andere variabelen óók moeten uitdrukken in y, en ook dat de grenzen van de integraal y-grenzen zijn.

Als x = 4, dan is y = 2 dus de grenzen zijn y₁ = 0 en y₂ = 2
Rest ons nog om ook die x² uit te drukken in y.
Omdat de functie is y = √x geldt x = y² dus x² = y⁴

Daarmee gaat de integraal zó:

OPGAVEN

Bereken de exacte waarde van de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als je de volgende vlakdelen wentelt om de y-as:

V₁, ingesloten door de grafiek van y = √(6x - 2) en de x-as en de y-as
en de lijn y = 3.

V₂, ingesloten door de grafiek van y = ln(4x) en de x-as en de y-as en de lijn y = 2.

V₃, ingesloten door de grafiek van y = 2x⁴ en de x-as en de lijn x = 1.

V₄, ingesloten door de grafiek van y = ⁸/_{(x
+ 2)} - 2 en de y-as en de x-as.

De grafieken van y = ⁴√x en y = ¹/₈x snijden elkaar voor x ≥ 0 in (0,0) en in (16, 2)
Ze sluiten voor x ≥ 0 samen een vlakdeel V in.
Je kunt V wentelen om de x-as, maar natuurlijk ook om de y-as. In beide gevallen krijg je een omwentelingslichaam

Toon aan dat beide grafieken inderdaad door (16, 2) gaan

Kun je zonder een berekening te maken voorspellen welk van die beide omwentelingslichamen de grootste inhoud zal hebben?

Controleer je antwoord op vraag b) door van beide omwentelingslichamen de inhoud in twee decimalen nauwkeurig te berekenen.

Bereken beide inhouden exact.

V is het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van y = ¹/_{(x +
4)} en de x-as en de y-as en de lijn x = 1
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als V wordt gewenteld om de y-as.

Afgerond op twee decimalen.

De exacte waarde.

Gegeven zijn de functies: f(x) = √(x + 5) en g(x) = x² - 25 op het domein [-3, 0]

Bereken de oppervlakte van het vlakdeel V dat ingesloten wordt door de grafieken van f en g en de y-as

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als vlakdeel V wordt gewenteld om de y-as.