© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
     
a. f(x) = 6x + 4lnx d. f(x) = 5x - 5logx g. f(x) = (lnx)2
             
  b. f(x) = 3ln(2x + 4) e. f(x) = 4log(x) + 4log(2x) h.  f(x) = 6 - ln(x2)
             
  c. f(x) = x3 + 3 - 2lnx f. f(x) = 4log(Öx) i f(x) =  ln(lnx)
       
Gegeven is de functie:
 

       
  Een lijn door de oorsprong raakt de grafiek van f(x). Bereken de exacte waarde van de coördinaten van het raakpunt.
       
Gegeven zijn de functies:
 

       
  Geef een vergelijking van de verzameling van punten op de grafieken van fp waarin de raaklijn horizontaal loopt.
       
Gegeven zijn de functies f(x) = ln(2 - x)  en  g(x) = 1 + lnx.
De lijn y = p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B.
De raaklijnen aan de grafieken in A en in B hebben richtingscoëfficiënten a en b

Toon aan dat de verhouding tussen a en b constant is.
       
Dankzij een campagne voor "meer bewegen" neemt het aantal abonnementen op een sportschool in een stad snel toe. Bij benadering geldt de formule:   A(x) = 50 •  2log(x2 + 6)
Daarin is A het aantal abonnementen en x de tijd in dagen met x = 0 op het moment dat de campagne begint.
       
  a. Wanneer zullen er  voor het eerst meer dan 400 abonnementen zijn?
       
  b. Met welke snelheid (abonnementen per dag) verandert het aantal op x = 10?
       
  c. Op welk tijdstip groeit het aantal abonnementen het snelst?
       
       
6. De afgeleide van f(x) = xx  is lastig te bepalen, maar als je je bedenkt dat a hetzelfde is als elna  dan geeft dat mogelijkheden.......
       
  a. Toon aan dat geldt  xx = exlnx
       
  b. Toon met deze formule aan dat voor de afgeleide van  xx  geldt  f ' = xx • (1 + lnx).
       
7.
     
  a. Neem k = 1.
Bereken exact de coördinaten van de top van de grafiek van f1
       
  Voor elke waarde van k ≠ 0 heeft de grafiek van fk één top.
De top van de grafiek van f1 ligt op een kromme met vergelijking  y = 1/x
       
  b. Bewijs dat voor elke waarde van k ≠ 0 de top van de grafiek van fk op de kromme y = 1/x ligt.
       
  De waarde van k wordt zodanig gekozen dat de grafiek van fk de lijn y = 1 snijdt in de punten A en B. De lengte van AB hangt af van de keuze van k.
       
  c. Onderzoek wat de kleinste gehele waarde van k is, waarvoor de lengte van AB groter is dan 1. Licht je antwoord toe.
       
  d. Wat is de exacte waarde van k waarvoor AB = 1?
       
8. Voor welke waarden van p raakt de grafiek van   f(x) = (1 - x)/(x - 2)  aan de grafiek van g(x) = p + lnx ?
       
9.
  Daarin is  a > 0

D is de driehoek die is ingesloten door de x-as, de y-as en de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (1,0)
Bereken voor welke waarde(n) van a de oppervlakte van D kleiner is dan 2.
       
10.
       
  a. Bereken algebraïsch  de coördinaten van de extremen van de grafiek van f
       
  b. De raaklijn in x = e3 aan de grafiek van f snijdt de x-as in punt P en de y-as in punt Q.
Bereken de oppervlakte van driehoek OPQ
       
11. a.  
       
  b. Gegeven zijn de functies  fp(x) = 2x - px
Gebruik het resultaat van vraag a) om algebraïsch te berekenen voor welke waarde van p de grafiek van fp de x-as raakt. 
       
12. Gegeven zijn de functies  fa(x) = a • lnx
De grafieken van deze functies zijn te verkrijgen door de grafiek van y = lnx te vermenigvuldigen met factor a ten opzichte van de x-as.
       
  a. Voor welke a raakt de lijn y = x de grafiek van fa(x)?
       
  b. De grafieken van f2(x) en g(x) = ln(x + 6) snijden elkaar.
Bereken in welk punt en onder welke hoek dat gebeurt.
       
13. Gegeven is de functie  f (x) = ln2x + 2lnx - 2
       
  a. Stel een vergelijking op van de buigraaklijn van de grafiek.
       
  b. Er zijn twee lijnen vanuit O die de grafiek van f raken. Stel van elk van deze lijnen een vergelijking op.
       
14. Gegeven is de functie  f(x) =  x/lnx.  Geef de vergelijking van de buigraaklijn.
       
15. Gegeven zijn de functies  f(x) = xlnx  en  g(x) = x - 3
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in punt P en de grafiek van g in punt Q
Bereken de minimale lengte van lijnstuk PQ.
       
16. Het kenmerk van een "rage" is dat er van een bepaald artikel in korte tijd erg veel wordt verkocht, en dat daarna de belangstelling ervoor weer snel verdwijnt. Een wiskundig model voor een rage ziet er vaak uit als:
       
 

N(t) = alog(t + b) - ct

       
  Daarin zijn a, b en c positieve constanten. N is het aantal verkochte artikelen (in tientallen), en t is de tijd in dagen.
       
  a. Als er 80 artikelen worden verkocht op t = 0 dan moet gelden a8 = b .
Toon dat aan.
       
  Voor een bepaald artikel geldt  a = 1,1 en  b = 2 en  c = 1,2
       
  b. Bereken algebraïsch hoeveel artikelen er tijdens deze rage maximaal verkocht worden.
       
  c. Onderzoek voor deze rage na hoeveel dagen het aantal verkochte artikelen weer op het oorspronkelijke niveau is teruggekeerd.
       
17. Een bergbeklimmer gaat een berg aan de steile zijde beklimmen om daarna langs de vlakkere zijde weer naar beneden te wandelen.

De vorm van de berg is ongeveer gelijk aan de functie: 
h(x) = 1500 • log(5x + 1) - 100x

Hoe hoog is de berg? Geef een algebraïsche berekening.
       
 

       
18. Gegeven is de functie:
 

       
  a. Bereken exact de coördinaten van de extreme waarde van de grafiek van f.
       
  b. Bereken exact de coördinaten van het buigpunt van de grafiek van f
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)