© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
De kromme K wordt gegeven door  x(t) = t5 - 4t3  en   y(t) = t2
       
  a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan K in het punt waar t = 1
       
  b. Leg uit waarom de vergelijkingen van de raaklijnen aan K in het punt (0,0) niet te berekenen zijn met de formule die je hebt geleerd voor de helling van een parameterkromme.
       
  c. Geef een vergelijking van de beide raaklijnen aan K in het andere snijpunt van K met de y-as. Leg uit hoe het kan dat een parameterkromme twee raaklijnen in één punt heeft.
       
De kromme K wordt gegeven door  x(t) = t3 - 4t  en   y(t) = tet - et
Geef een vergelijking van de raaklijn aan kromme K in het snijpunt met de positieve y-as.
       
De kromme K wordt gegeven door  x(t) = t2 - 2t  en   y(t) = lnt
Voor welke b raakt de lijn  y = 1/4x + b de kromme K?
       
De kromme K wordt gegeven door 
x(t) = cos2t + cost  en   y(t) = sin2t + sint

Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar t = 1/3π.

       
Gegeven is de parameterkomme K door:

x(t) = cos(t/3)  en  y(t) = sin(t/2)

Zie de figuur hiernaast.

 
     
  a. Bereken de hoek waaronder de kromme zichzelf snijdt op de x-as
     
  De twee losse "uiteinden" van de kromme noemen we keerpunten, want daar keert de beweging om.
Het bovenste keerpunt P hoort hier o.a. bij  t = 3p.
Als je de helling in punt P algebraïsch probeert te berekeningen dan is dat niet mogelijk.
       
  b. Leg uit waarom dat niet lukt.
     
  c. Benader de helling in punt P door een punt vlak naast het keerpunt te gebruiken.
       
       
6. examenvraagstuk Wiskunde,VWO, 1984.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = -t2 + 6t  en   y = -1/3t3 + 2t2   waarbij  t ∈ R
       
  a. Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
       
  b. Toon aan dat er twee lijnen zijn die K in O raken.
Bereken de hoek van deze lijnen in graden nauwkeurig.
Teken K.
       
  c. Voor welke p ∈ R+  geldt:  de lijn y = 2x - p  raakt  K ?
       
7. examenvraagstuk Wiskunde B VWO, 1988.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = t2 - t - 2  en   y = t2 + t + 1/4,  waarbij  t  ∈ R
       
  a. Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van K en de coördinaatassen.
       
  b. Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
       
  c. Onderzoek welke waarden de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan K kunnen aannemen.
       
8. examenvraagstuk Wiskunde B VWO, 1998.

De kromme K is gegeven door:
 

  waarbij t ∈ [0, 2π] 
In de figuur hiernaast is K getekend.

De coördinaatassen zijn symmetrie-assen van K.
     
  a. Toon aan dat voor t ≠ 0, p en 2p de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K in het punt (x(t), y(t)) van K gelijk is aan  -3sin2t
       
  R is een rechthoek waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de coördinaatassen. De hoekpunten van R liggen op kromme K
       
  b. Bereken hoe groot de oppervlakte van R maximaal kan zijn.
       
  Voor elke a ∈  R  is de kromme Ka gegeven door:  
 
  waarbij  t ∈ [0, 2π]

Voor elke a zijn de coördinaatassen symmetrie-assen van Ka.
In de volgende figuur zijn K2, K3 en K4 getekend.
       
 

       
  c. K3 snijdt zichzelf in het punt S op de positieve x-as. Bereken de hoek waaronder K3 zichzelf in S snijdt.
       
9. Voor elk positief geheel getal n bekijken we de baan Kn van een punt dat beweegt volgens:
       
 

     

  Met 0  ≤  t  ≤  0,5π
In de figuur hiernaast zijn vier banen getekend.

Gegeven een punt P van K6.
     
  a. Toon aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K6 in punt P gelijk is aan -tan4t
     
  In een punt P van K6 heeft de raaklijn aan K6 richtingscoëfficiënt  -9.
     
  b. Bereken de coördinaten van P.
       
10. De "traan" hiernaast voldoet aan de parametervergelijkingen:

     
 
     
  De traan past precies in een gelijkbenige driehoek met als top het snijpunt van deze kromme met de y-as:
       
 

 
       
  a. Bereken de exacte oppervlakte van deze driehoek.
       
  b. De lijn y = p snijdt de traan in de punten A en B zodat AB = 2.
Bereken algebraïsch de exacte waarde van p waarvoor dat zo is.
       
11. Examenopgave VWO, Wiskunde B, 2021-II

De kromme K is gegeven door de bewegingsvergelijkingen:
x(t) = cos3t
y(t) = sin3t
met  0 < t < 1/2π

De raaklijn in een punt van deze kromme snijdt de x-as in punt A en de y-as in punt B.
Bewijs dat de lengte van het lijnstuk AB constant is. 

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)