Meer opgaven  
       
       
Geef de afgeleide van de volgende functies:
         
  a. y = 2√(x2 + 3x) e. y = 3(x2 + 4x - 6)3 
         
  b. f(x) = (2x3 - x)5  f. y =  1/(4x³ - 2x) + 3x2
         
  c. f(x) = 6/(6x + 8)² g. f(x) = 6 - (4 - x)4 
         
  d. y = (2x + 3) • √(2x + 3) h. f(x) = √(1 + √x))
         
Gegeven is de functie  f(x) = (2x - x4 )3
Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van  f  in het punt waarvoor x = 1.
       
Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2009

De functie f is gegeven door f (x) = √(4x − 5).
De lijn k heeft als vergelijking y = 4x + b.
Voor een bepaalde waarde van b raakt lijn k de grafiek van f. In  de volgende figuur zijn deze lijn k en de grafiek van f te zien.
       
 

       
  Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van b
       
Examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 1990 (deels)

Een luchtkussen is in een machine aangebracht om trillingen van een onderdeel op te vangen. Het volume van het luchtkussen verandert daarbij voortdurend. Daarmee samenhangend verandert ook de luchtdruk in het luchtkussen. Het volume (V) en de luchtdruk (P) zijn beiden functies van de tijd t. Het verband tussen luchtdruk en volume wordt gegeven door  P = 1/V
Gemakshalve worden hier voor de grootheden volume, druk en tijd niet nader gespecificeerde eenheden gebruikt.
Hieronder staat de grafiek van  V(t)  
       
 

       
  a. Op t = 5 geldt  V = 0,5 en V ' = 0,20.  Bereken P ' voor t = 5.
       
  b. Op t = 10 geldt  P = 1,25  en  P ' = 0,3.  Bereken  V' voor t = 10.
       
Uit een lek vat stroomt olie de zee in.
Die olie vormt een cirkelvormige plas rondom het vat met een straal r en een dikte van 0,1 mm.
Op een bepaald moment is de straal van de olieplas gelijk aan 80 cm en op dat moment neemt de straal toe met 10 cm/minuut.
Hoe snel stroomt de olie op dat moment uit het vat?
     
       
6. De temperatuur van de lucht boven het aardoppervlak wordt op een bepaalde plaats gegeven door:
T(h) = 20 - √(10 + h2)
Daarin is h de hoogte in honderden meters en T de temperatuur in ºC.
       
  a. Op welke hoogte is de temperatuur 5ºC?  
       
  b. Hoe snel daalt de temperatuur (in ºC/m) op een hoogte van 600 meter?
       
  Een parachutist springt op t = 0 op hoogte 2 km vanuit een vliegtuig. Hij valt naar benden, en voor zijn hoogte h geldt:  h(t) = 20 + 0,1 • (t - t2)
Daarin is h weer in honderden meters, en t in seconden.
       
  c. Bewijs met de formule dat de parachutist eerst omhoog springt en daarna past valt.
       
  d. Op welk tijdstip valt hij met 90 m/sec?  
       
  e. Hoe snel (in ºC/sec) verandert de temperatuur voor de parachutist op t = 5?
       
7. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2002.

Gegeven is de verzameling functies 
g(x) = (px + 4)3.
In de figuur hiernaast is voor een aantal waarden van p de bijbehorende grafiek getekend.

Voor elke waarde van p snijdt deze grafiek de y-as in het punt C(0,64)

De helling van de grafiek van g in het punt C is afhankelijk van de waarde van p.

Bereken exact voor welke waarde van p deze helling gelijk is aan 10.

       
8. De hoeveelheid huishoudelijk afval die een stad produceert in een jaar is uiteraard afhankelijk van het aantal inwoners. Er blijkt te gelden  V(n) = 0,08√(0,1n3 + 10n)  waarin V de hoeveelheid afval (in duizenden kg) is en n het aantal inwoners (in duizenden).
       
  a. Toon aan dat V(n) een stijgende functie is.  
       
  Als een klein stadje groeit, dan neemt de hoeveelheid afval  per inwoner  vaak eerst af. Dat komt door een efficiëntere manier van gescheiden inzamelen en verwerken van afval bij iets meer inwoners.  Wordt een stad te groot dan verdwijnt dit gunstige effect en neemt de hoeveelheid afval per inwoner juist toe. Dat komt deels doordat er meer artikelen te verkrijgen zijn en dus gekocht worden in een grotere stad, en deels doordat de sociale controle veel kleiner is. 
Voor de hoeveelheid afval per inwoner volgt uit bovenstaande formule dat die gelijk is aan 
V/n = 0,08√(0,1n + 10/n)
       
  b. Toon dat aan.  
       
  c. Bereken algebraïsch bij welk inwoneraantal de hoeveelheid afval per inwoner minimaal is.
       
  Een klein stadje heeft nu  (t = 0, t in jaren)  2000 inwoners, dus n = 2. Het inwoneraantal groeit echter behoorlijk, en de planologen verwachten  dat  n(t) = 2 + 0,1t2  een goede formule is om dit inwoneraantal de komende jaren te berekenen.
       
  d. Bereken hoe snel de hoeveelheid afval die dit stadje produceert zal toenemen over 15 jaar.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)