© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = x2  en de lijn y = 6 - x.
De lijn x = p verdeelt V in twee delen met gelijke oppervlakten.
Bereken p.  Rond je antwoord af op twee decimalen.
       
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = 4/(x²)  , de x-as, de y-as en de lijnen
x = 16 en y = 16.
De lijn x = a verdeelt V in twee stukken waarvan de oppervlakten zich verhouden als  2 : 1, waarbij het rechter deel het kleinst is.
Bereken a.
       
Gegeven zijn de functies  fa(x) = x3 - 4x + a
       
  a. Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f0 , de x-as en de lijn x = p  met  0 < p < √12.  Bereken algebraïsch  p als de oppervlakte van V gelijk is aan 10,25.
       
  b. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van fa  met a > 0, de x-as, de y-as en de
lijn x = -2.  Bereken algebraïsch  a als de oppervlakte van W gelijk is aan 20.
       
  V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van  f en de lijn  y = 6,2
       
  a. Bereken de exacte waarde van de oppervlakte van V
       
  b. De oppervlakte van het vlakdeel W, ingesloten door de grafiek van f, de lijn y = x + 1 en de lijnen  x = 1 
en  x = p (p > 1) is gelijk aan 2.
Bereken de waarde van  p
       
Gegeven zijn de functies  fp(x) = pex - e2x
Hiernaast zie je de grafieken van f2, f4 en  f6
V is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van fp  en de x-as en de y-as.

Voor welke p is de oppervlakte van V gelijk aan  2? 
     
       
6. Tussen de twee parabolen
y = 0,25x2  en  y = 2 - 0,25x2  wordt een rechthoek getekend waarvan de hoekpunten op de parabolen liggen en waarvan de zijden evenwijdig aan de coördinaatassen zijn.

Hoeveel procent van de oppervlakte tussen beide parabolen wordt maximaal door de rechthoek in beslag genomen?

       
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2009.
       
  De functie f is gegeven door f (x) = 4 −  1/4x2.
De grafiek van f snijdt de x-as in punt A(4, 0) en de y-as in punt B(0, 4).
Voor elke waarde van c is de lijn k met vergelijking y = −x + c evenwijdig aan de lijn AB. Voor c > 5 sluiten de x-as, de lijn k, de y-as en de lijn AB een trapezium in dat door de grafiek van f in twee delen wordt verdeeld. Zie de figuur hiernaast.

Bereken algebraïsch voor welke exacte waarde van c deze twee delen gelijke oppervlakte hebben.

       
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2019-II.

De functie  f  met domein [0, π] wordt gegeven door f (x) = 2sin(x).

We bekijken het gebied dat begrensd wordt door de grafiek van f, de x-as, de lijn met vergelijking x = p en de lijn met vergelijking x  = π - p . Hierin is 0 < p < 1/2π
In onderstaande figuur is dit gebied groen. De oppervlakte van het gebied is A(p).
       
 

       
  Er geldt: A( p) = 4cos(p).
       
  a. Bewijs dat deze formule voor A(p) juist is.
       
  De lijn met vergelijking x = p snijdt de grafiek van  f  in het punt P.
De lijn met vergelijking x = π - p snijdt de grafiek van  f  in het punt Q.
De horizontale lijn door P en Q verdeelt het grijze gebied in twee delen.
Het deel boven deze lijn is V, het deel onder deze lijn is W. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  Er is één waarde van p waarvoor de oppervlakten van V en W aan elkaar gelijk zijn.
       
  b. Bereken deze waarde van p. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
       
9. Examenopgave VWO Wiskunde B, 2017-II
       
  De functie f  is gegeven door:

f (x) = 2x + 2-2x

In de figuur hiernaast  is een deel van de grafiek van f weergegeven.
De functie heeft één extreme waarde
en dat is een minimum.
     
  a. Bereken exact de waarde van x waarvoor f(x) minimaal is.
       
  In de figuur linksonder  is het gebied grijs gemaakt dat wordt begrensd door de grafiek van f , de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = -1 en x = 1. In de figuur rechtsonder is het rechthoekige gebied grijs gemaakt dat wordt begrensd door de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = -1, x = 1 en y = k .
De waarde van k is zo gekozen dat het grijze gebied uit beide figuren dezelfde oppervlakte hebben.
       
 

       
  b. Bereken algebraïsch de waarde van k. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
       
10. Aan de grafiek van f(x) = gx  wordt de raaklijn r  in het snijpunt met de y-as getekend.  Zie de figuur.
V is het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van f, de raaklijn r en de lijn x = 1.

Bereken voor welke g de oppervlakte van V gelijk is aan 1. Geef he antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
 

       
11. Gegeven zijn de functies f (x) = gx  en  h(x) = g2x 
We bekijken het vlakdeel tussen beide grafieken voor x < 0
Dat is aan de linkerkant niet begrensd, dus je er niet zomaar de oppervlakte van uitrekenen.

Zie de figuur hiernaast.

Voor de oppervlakte (O) van het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van f en h en de lijn x = -a geldt:

     
 

       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Voor welke g wordt de (onbegrensde) oppervlakte tussen beide grafieken voor x < 0 gelijk aan  1?
       
12. Gegeven zijn de functies  y = xa   op interval [0,1] en  a een geheel getal. De grafiek van deze functie gaan allemaal door (0,0) en (1,1).

Voor twee opeenvolgende waarden van a kun je de oppervlakte tussen de bijbehorende grafiek berekenen. 
Dat is in de figuur hiernaast gebeurd voor a = 3, en het levert de oppervlakte tussen y = x3 en y = x4 op.

a.   Bereken deze oppervlakte algebraïsch
b.   Voor welk a is deze oppervlakte gelijk aan  1/650  ?

       
13. De parabool  y = x2  en een stijgende lijn y = ax sluiten samen een vlakdeel in waarvan de oppervlakte gelijk blijkt te zijn aan a2. 
Bereken algebraïsch voor welke a dat zo is.
       
14. Ik ontdekte laatst iets grappigs.
Teken in een rechthoek van a bij b een parabool met de top in de linker onderhoek en zorg ervoor dat die parabool ook precies door de rechter bovenhoek gaat.
Dan verdeelt die parabool de rechthoek in twee stukken waarvan de oppervlakten zich verhouden als 2 : 1.

Leuk hè?

Kies als oorsprong de linker onderhoek van de rechthoek en bewijs deze eigenaardige eigenschap van parabolen.
       
15. De lijn y = a2 en de parabool y = ax2 sluiten een vlakdeel V  in, dat oppervlakte 324 heeft.
Bereken a
       
16. De grafiek van y = 1/x wordt over een afstand a naar rechts geschoven.
De oppervlakte tussen de beide grafieken die je dan hebt, en de lijnen x = 2 en x = 3 blijkt precies gelijk te zijn aan 1. Bereken de waarde van a in drie decimalen nauwkeurig
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)