Meer opgaven  
       
       
Nietjes zijn maar rare dingen.
Al je ze goed bekijkt zijn er vele verschillende vormen in omloop. Hiernaast staan drie soorten nietjes die variëren van "hoog en smal"  tot "laag en breed". 
Zo'n nietje is een stukje afgeplat metaaldraad waarvan de twee zijkanten worden omgebogen over een hoek van 90º.
Als de totale lengte van dat draad gelijk is aan 20 mm, hoe moet dat dan omgebogen worden zodat de oppervlakte van het vooraanzicht van een nietje maximaal is? 

       
Iemand wil het stuk land naast zijn huis omheinen.
Hij heeft in totaal 80 meter omheining tot zijn beschikking.
Langs het 12 meter lange huis hoeft geen afrastering te komen.
 

Kies de afstand x als in de figuur hiernaast.

Wat moet men voor x kiezen als de omheinde oppervlakte zo groot mogelijk moet zijn?
       
Iemand wil drie stukken land omheinen zoals hiernaast getekend.
De totale lengte van de omheining is 500 meter.
Als de breedte gelijk is aan x dan geldt voor de oppervlakte van de drie stukken samen: 
O = 250x - 2x2

     
  a. Toon dat aan.
       
  b. Bereken algebraïsch de maximaal te omheinen oppervlakte.  
       
Hiernaast staat een houten kistje met een vierkant grondvlak en een inhoud van 8000 cm3 .
De bodem en de zijkanten zijn van hout en kosten  €0,005 per cm2
Het deksel is van glas en kost  €0,008  per cm2 

Voor de totale materiaalkosten van zo'n kistje geldt dan:
K = 160/x + 0,013x2

     
  a. Toon dat aan
     
  b. Bereken algebraïsch hoeveel het goedkoopst mogelijke kistje (onder deze voorwaarden) kost.  
       
5. Een atletiekbaan bestaat eigenlijk altijd uit twee rechte stukken en twee halve cirkels, zoals hiernaast getekend. De omtrek van de baan is de lengte van één rondje en dat is 400 meter.
Het binnenterrein van de baan is het gekleurde rechthoekige deel hiernaast. Op dit binnenterrein moeten vaak andere sporten als hoogspringen, verspringen e.d. plaatsvinden.

  Hoe moet men de afmetingen van de atletiekbaan kiezen om een zo groot mogelijk binnenterrein (qua oppervlakte) te hebben? Hoe groot wordt die oppervlakte?
       
       
6. Je hebt een stuk karton van 40 bij 60 cm en gaat daar een doosje zonder deksel van vouwen. Dat doe je door er in de hoeken 4 vierkantjes uit te knippen zoals hiernaast getekend is. De stippellijnen worden vouwlijnen,

     
  a. Wat is de grootste inhoud van een doosje dat je zo kunt maken?
       
  Natuurlijk is het mooier om een doosje met deksel te maken, zoals van de bouwplaat hiernaast. Nu moeten er zes vierkantjes uit worden gesneden

     
  b. Wat is nu de grootste inhoud die te halen is?
       
7. Een rijke sultan wil één van zijn bedienden belonen en doet hem het volgende voorstel. Hij zegt;
"Ik heb hier een plaat goud met een dikte van 12 cm. Jij mag op de bovenkant een vierkant aftekenen met zijde x kleiner dan 12. Uit de plaat zaag ik de balk waarvan dat vierkant het bovenvlak is. Daarna zaag ik van die balk weer een plakje af om er een kubus van te maken. Dat plakje mag jij hebben!"
       
 

       
  Welke afmetingen moet de bediende kiezen om zoveel mogelijk goud te krijgen?
       
8. Een boer heeft een rechthoekig stuk grond van 300 bij 400 meter. Hij wil daar graag op een deel maïs op verbouwen en op een deel koolzaad. De rest mag leeg blijven voor zijn kinderen om op te spelen. Hij wil beide bebouwde stukken precies vierkant van vorm hebben, en aan elkaar aansluiten.  Hieronder zie je drie mogelijkheden.
       
 

       
  We stellen de afmetingen van het veld maïs gelijk aan x bij x. Omdat de boer de onderrand van zijn gebied helemaal vol wil bouwen moet dan gelden  10 < x < 40.
Zijn kinderen rekenen snel uit dat voor de oppervlakte van het leeg gebleven gebied geldt  O = 800x - 2x2 - 40000
       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Welk advies zullen de kinderen hun vader geven om zoveel mogelijk speelruimte te krijgen?
       
9. Een cilindervormig erwtensoepblik heeft inhoud 1 liter.
Natuurlijk wil de fabrikant zijn blikken zo goedkoop mogelijk fabriceren. Dat betekent dat er zo min mogelijk materiaal voor gebruikt moet worden, dus dat de oppervlakte ervan zo klein mogelijk is.
Maar er moet wel een liter in!
Stel dat de straal van het bovenvlak gelijk is aan  r  (dm)
Dan is de totale oppervlakte O van het blik gelijk aan:  
O = 2/r + 2πr2  

       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Bereken algebraïsch de afmetingen van het blik waarvoor de oppervlakte minimaal is.
       
10. De leiding van een politieke partij wil met het oog op de komende verkiezingen reclame gaan maken door overal posters op te gaan hangen.
Voor de tekst die men kwijt wil is een oppervlakte van 1,4 m2 nodig.
De drukker van de posters vertelt verder dat aan de bovenkant en aan de onderkant een vrije ruimte van 10 cm nodig is, en aan beide zijkanten een vrije ruimte van 5 cm.

Stel dat de afmetingen van de tekst x bij y cm worden.
Dan wordt de oppervlakte van de poster:

   O = 11600 + 20x + 114000/x 

     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Bij welke afmetingen zal de totale poster dan zo klein mogelijk zijn?  
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)