© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Raken aan een cirkel  
       
Gegeven is de cirkel met middelpunt  (5, 0) en de grafiek van
f(x) = 2√(x + 1)

De cirkel blijkt de grafiek van f(x) precies te raken in punt R. Zie de figuur hiernaast.
1. Geef het domein en het bereik van de functie  f
     
2. Bereken de straal van de cirkel en bereken de coördinaten van het raakpunt R.
       
3. Toon met behulp van de afgeleide functie van f aan dat de lijn door M en R de grafiek van  f  loodrecht snijdt.
       
4. De raaklijn in punt R aan de grafiek van f snijdt de x-as in punt Q
Hoeveel procent van de oppervlakte van driehoek QRM valt binnen de cirkel?  Geef je antwoord in een geheel aantal procenten.
       
Uitwerking
       
1. x + 1 ≥ 0
x ≥ -1  dus het domein is  [-1, →〉
Het randpunt is dan  (-1, 0)
Het bereik is dan  [0,  →〉
       
2. De cirkel heeft vergelijking  (x - 5)2 + y2 = r2
Snijden met de grafiek van  y = 2√(x + 1):  geeft   (x - 5)2 + 4(x + 1) = r2
x2 - 10x + 25 + 4x + 4 - r2 = 0
x2 - 6x + 29 - r2 = 0
Voor raken mag er maar één snijpunt zijn dus de discriminant is nul:
36 - 4(29 - r2) = 0
36 - 116 + 4r2 = 0
4r2 = 80
r = √20

Dat geeft x2 - 6x + 29 - 20 = 0
(x - 3)2 = 0
x = 3 en dan is y = 4
Het raakpunt is R = (3, 4)
       
3. f(x) = 2(x + 1)0,5
f '(x) = 0,5 × 2 × (x + 1)-0,5
f '(3) = 0,5

R = (3, 4) en  M = (5, 0)
MR heeft helling  (0 - 4)/(5 - 3) = -2

Omdat  -2 × 0,5 = -1 staan de lijn  MR en de grafiek van f  loodrecht op elkaar.QR
       
4. De raaklijn heeft helling 0,5 (zie vraag b)  en gaat door  (3, 4)
Het is dus de lijn  y = 0,5x + 2,5

Snijpunt met de x-as:  y = 0  dus  0,5x + 2,5 = 0
x = -5  dus  Q = (-5, 0)
De oppervlakte van driehoek QRM is  0,5 × 10 × 4 = 20

Voor de hoek die  QR met de x-as maakt geldt  tan(a) = 0,5  dus die hoek is 26,57°
De oppervlakte van het cirkelsegment is dan  26,57/360 -ste deel van de oppervlakte van de cirkel.
Dat is 0,073-ste deel

De cirkel heeft oppervlakte   p × (√20)2 = 62,83
Het deel van de cirkel binnen de driehoek heeft oppervlakte 0,073 × 62,83 = 4,58
Dat is  4,58/20 × 100% = 23% van de oppervlakte van de driehoek.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)