© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Foto's maken  
       
De familie de Groot moet op de foto. De familie bestaat uit vader, moeder, zoon en dochter. Vader is het langst, dan moeder, dan zoon en dan dochter. De familie gaat in twee rijen van 2 op de foto, dus twee vooraan en daar recht achter nog twee.
Daarbij mag natuurlijk nooit een langer persoon vóór een korter persoon staan.
   
1. Hoeveel mogelijke foto's zijn er te maken?
     

We bekijken nu het algemene geval van n mensen (even aantal) met allemaal verschillende lengte die in twee rijen op een foto moeten.

Daarvoor blijkt de volgende recursieformule te gelden:
       

  u(n) = u(n - 2) ? · 0,5 · ? n · (n - 1)  met  u(1) = 0 en  u(2) = 1
     
2. Onderzoek bij hoeveel personen het totaal aantal mogelijke foto's voor het eerst meer dan 1 miljard is.
       
Je kunt het probleem ook als volgt benaderen:
            De fotograaf kiest eerst de twee mensen die helemaal links komen te staan
            Daarna kiest hij de twee mensen die daar direct naast staan.
            Daarna kiest hij de twee mensen die daar weer naast staan.
            enz.
Elke keer als hij er twee heeft gekozen dan staat vast wie van die twee vooraan en wie achteraan moet staan, want ze zijn immers niet even lang.
       
3.

Bereken op deze manier hoeveel mogelijke foto's er voor 8 mensen zijn.

       
Een mooie formule die het aantal foto's  A  bij n mensen benadert is:   
       

       
4.

Bereken hoeveel procent de waarde van deze formule voor n = 10 afwijkt van het werkelijke aantal.
       
5.

Bereken met deze formule het antwoord op vraag 2 nogmaals.
       
De familie de Groot heeft vanaf de eerste verjaardag van hun zoon elk jaar een gezinsfoto laten maken bij een fotograaf laten maken. Steeds op de verjaardag van hun zoon. Eerst met zijn drieën op de foto en, toen hun dochter eenmaal geboren was, met z'n vieren.
Op de eerste verjaardag van hun zoon kostte die foto  €5,20 en dat is sindsdien elk jaar 4% duurder geworden.
       
6. Geef een recursieformule en een directe formule voor het bedrag dat de foto in jaar n kostte.
       
7. Bereken hoeveel geld de familie in totaal na de 21e verjaardag van hun zoon aan zulke foto's heeft uitgegeven
       
Het percentage 4% is een afgerond percentage.
       
8. Bereken dit percentage in 3 decimalen nauwkeurig als je weet dat elk  18  jaar de kosten van een foto precies verdubbelen.
       
 
Uitwerking.
       
1. Noem ze van lang naar kort 1, 2, 3, 4
De mogelijke foto's zijn dan:

1 3       1 2       1 2       2  1       2  1       3  1
2 4       3 4       4 3       3  4       4  3       4  2

Dat zijn er 6
       
2.

mode-seq
nmin = 2
u(n) = u(n - 2) ? · 0,5 · ? n · (n - 1)
u(2) = 1
u(3) = 0
TABLE geeft dan  bij n = 16 voor het eerst meer dan 1 miljard
       
3. voor de eerste 2 personen :  8  nCr 2 mogelijkheden
voor de volgende 2 personen:  6 nCr 2 mogelijkheden
voor de volgende 2 personen:  4 nCr 2 mogelijkheden
voor de laatste twee personen:  1 mogelijkheid.
In totaal  (8 nCr 2) · (6 nCr 2) ·  (4 nCr 2) ·  1 = 2520 mogelijkheden
       
4. A(10) = 112459,238.....
(10 nCr 2) · (8 nCr 2) · (6 nCr 2) · (4 nCr 1) = 113400
dat scheelt 940,762...
dat is 0,8%
       
5. Y1  =  de formule
Y2 = 1000000000
intersect geeft n = 14,16  dus bij 14 is het nog te weinig
Dus bij 16 personen.
       
6. Recursieformule:  u(n) = u(n - 1) · 1,04  met  u(1) = 5,20
Directe formule:   u(0) = 5,20/1,04 =    dus  u(n) = 5 · 1,04n
       
7. nmin = 1
u(n) = u(n - 1) · 1,04
u(1) = 5,20
v(n) = v(n - 1) + u(n)
v(1) = 5,20
v(21) = 166,54
       
8. g18 = 2
g = 21/18 = 1,039259....
Dat is 3,926%
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)