De helling en de raaklijn.
Bij de grafiek van een functie was de helling gelijk aan de afgeleide, en ook aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.
Maar ja, bij een parameterkromme heb je niet één formule om de afgeleide van te nemen....
Toch kun je het natuurlijk best hebben over de helling in een bepaald punt.
Kijk maar naar dat autootje dat over de kromme rijdt:
Denk aan de oude afspraak over de helling en kijk naar de figuur hierboven. Het gaat om de helling van die blauwe lijn. Dan geldt:

En jawel; het is alwéér gelukt: we zetten weer gewoon alles om in t's. 

Voor een bepaald punt waar je de helling wilt weten bepaal je eerst welke t erbij hoort. Daarna vul je die t  in in x' en y' en het antwoord  y'/x'  geeft de helling van de kromme en dus ook van de raaklijn in dat punt.

Zie je dat het ook klopt met de eerdere dingen die we vonden over wanneer de raaklijn horizontaal of verticaal is?
Als de raaklijn horizontaal is, is de helling nul, en  y' = 0 geeft inderdaad helling 0.
Als de raaklijn verticaal is, is de helling oneindig groot, en x' = 0 geeft inderdaad een oneindig groot getal.
Voorbeeld.

Gegeven is de parameterkromme van de ellips   x(t) = 4cost  en   y(t) = 2sint   met  0 ≤ t ≤ 2p
Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt (2Ö3, 1)  

x = 2Ö3 Þ  4cost = 2Ö3  Þ  cost = 1/2Ö3  Þ  t = 1/6p  of  t = 15/6p   
t = 1/6p  geeft  y = 1  en   t = 15/6p  geeft y = -1 dus het gaat om t = 1/6p
x'(1/6p) = -4sin(1/6p) = -4 • 1/2 = -2
y'(1/6p) = 2cos(1/6p) = 2 • 1/2Ö3 = Ö3
Dus de helling is  Ö3/-2 = -1/2Ö3
De raaklijn heeft dan vergelijking  y = -1/2Ö3 • x + b en moet door  (2Ö3, 1) gaan.
Invullen geeft  1 = -1/2Ö3 • 2Ö3 + b  Þ  1 = -3 + b  Þ  b = 4
De raaklijn is daarom de lijn y = -1/2Ö3 • x + 4    
1. De astroïde is een bekende kromme. Het is namelijk het "ruiten"-teken uit ons kaartspel. De vergelijkingen van de astroïde zijn:

     
 

     
  Voor de helling a  van de astroïde geldt:   a = -2 • tan(t) 
       
  a. Toon dat aan.  
  b. Een lijn met helling -2 raakt deze kromme. Geef de vergelijking van zo'n lijn. (er zijn 2 mogelijkheden).

y = -2x ±Ö2
       
2. Het "folium" (= blaadje) van Descartes zijn we al eerder tegengekomen. Het blaadje hiernaast heeft vergelijkingen:

     
 

       
  a. Geef de helling van deze kromme in het punt waar t = 1/2.

15/14
       
  De beide uiteinden van de kromme worden bereikt voor t = -1
       
  b. Leg uit hoe je dat aan de formules hierboven kunt zien.  
  c. Toon aan dat de hellingen aan de uiteinden gelijk worden aan -11/2.  
       
3. De figuur hiernaast heet een Nephroïde en hoort bij de volgende vergelijkingen:
 
 

  a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan deze kromme in het punt waarvoor t = 1/3p
  b. Onderzoek of de kromme in de scherpe punt horizontaal loopt of niet.