© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Parameters met buigpunten  
       
Zoals je nog wel weet is een parameter een extra letter in een formule. Die letter staat voor een vast, constant getal dat nog onbekend is. Het is dus heel wat anders dan een variabele: dat is (meestal de x) een letter die allerlei verschillende waarden aanneemt, waardoor je een grafiek krijgt.
       
parameter =  constant getal dat je nog niet weet
variabele  = getal dat allerlei verschillende waarden aanneemt.  
       
Met een parameter p in een functievoorschrift verandert die functie in een hele familie van functies:  voor elke waarde van p heb je een andere functie. Daarvan kunnen bijvoorbeeld sommigen een buigpunt hebben, en anderen niet.

Als f ''  niet nul kan worden dan zal er bijvoorbeeld geen buigpunt zijn. Vaak zal dat zijn doordat je aan de formule van f''  kunt zien dat die altijd positief of altijd negatief is. Of het zou kunnen dat de vergelijking  f '' = 0 een discriminant heeft die negatief is (zodat er geen oplossing is).

Tenslotte zou het nog kunnen dat f '' = 0 wel een oplossing heeft maar dat er geen tekenwisseling is.
       
Voorbeeld:  Voor welke p heeft de grafiek van   f(x) = x4 + px3 + 9x2  géén buigpunt?

Oplossing:
f '(x) = 4x3 + 3px2 + 18x
f '' (x) = 12x2 + 6px + 18
12x2 +  6px + 18 = 0  heeft geen oplossing als de discriminant negatief is
(6p)2 - 4 · 12 · 18 = 0  geeft  p = ±Ö24
De discriminant is negatief als  p > Ö24  of  als p < -Ö24 dus in die gevallen is er geen buigpunt.
       
 
   
OPGAVEN
       
1. Gegeven is de functie  f(x) = px3 + 2x2 + 6x
Voor welke p is de buigraaklijn van de grafiek van f een stijgende lijn?
     
2. Gegeven is de functie f(x) = -x4 + px3 - 12x2 + 4x - 10
       
  a. Geef de coördinaten van de buigraaklijnen van de grafiek  f(x) als p = 6
       
  b. Waarom heeft de grafiek van f geen buigpunten voor p = 4?
       
  c. Voor welke p heeft de grafiek van f precies één buigpunt?
       
   
3. Gegeven zijn de functies  fp(x) = 2x3 + x2 + p
De buigraaklijn van fp gaat door O.   Bereken p
     
4. Gegeven zijn de functies fa(x)  door:
 

  Toon aan dat de grafiek van  fa  voor geen enkele a precies één buigpunt heeft.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)