Een bekende richtingscoëfficiënt
       
Deze les gaan we de boel omdraaien: als we de helling van de raaklijn al weten kunnen we dan het raakpunt vinden? 

En bekende toepassing is het voorbeeld hier onder:
       
Voorbeeld.

Gegeven is de lijn y = 5x - 2  en de grafiek van f(x) = x2 + x + 6
Hoeveel moet je de lijn omhoog schuiven zodat hij de grafiek raakt?
Zie de figuur hiernaast.

Oplossing.
Bij dat schuiven verandert de helling van de lijn niet, dus wordt de vergelijking van de lijn   y = 5x + b
In het eindresultaat heeft die stippellijn dus ook vergelijking  y = 5x + b

Als dat de raaklijn aan de grafiek is, dan moeten de lijn en de grafiek in dat raakpunt dezelfde helling hebben, dus moet daar gelden  f '= 5

f '(x) = 2x + 1
f '(x) = 5  geeft dan   x = 2

Het raakpunt ligt dus bij  x = 2, dus dat is het punt  (2, 12)
De lijn  y = 5x + b moet dus ook door  (2, 12) gaan en dat geeft  b = 2, dus het wordt de lijn  y = 5x + 2
Dat betekent dat de lijn  y = 5x - 2 dus 4 omhoog moet worden geschoven.
       
De belangrijkste opmerking uit dit voorbeeld is de volgende:
       
In een raakpunt geldt  a = f '
       
Natuurlijk kun je ook de lijn laten liggen en de grafiek van f verschuiven:
       
Voorbeeld.

Gegeven is de lijn y = 5x - 2  en de grafiek van f(x) = x2 + x + 6
Hoeveel moet je de grafiek naar rechts schuiven zodat hij de lijn raakt?
Zie de figuur hiernaast.

Oplossing.
De grafiek heeft in het punt  (2, 12)  helling 5  (zie vorige voorbeeld).
y = 12  geeft  bij de lijn  5x - 2 = 12  dus  x = 2,8

Dus moet de grafiek van  (2, 12) naar  (2.8, 12) worden geschoven.

Dat is 0,8 naar rechts.
De formule wordt dan  y = (x - 0,8)2 + (x - 0,8) + 6
       
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. De lijn  y = 8x + b  raakt de grafiek van  f(x) = 24x - 2x2
Bereken algebraïsch de waarde van b.
       
2. Gegeven is de functie  f(x) = 4x3 - 2x2 + 3x
De grafiek van  f  heeft twee raaklijnen met hellinggetal 59.
Bereken algebraïsch de verticale afstand tussen die twee raaklijnen.
       
3. Gegeven zijn de functie  f(x) = x√x - 2x - 1  en de lijn  k:  y = x - 8
Je kunt lijn k over een afstand omhoog schuiven totdat hij de grafiek van f raakt, maar je kunt de lijn ook over een afstand naar links schuiven totdat hij de grafiek van f raakt.
Zie onderstaande figuur.

Bereken beide afstanden.
       
 

       
4. Gegeven zijn de functies  f(x) = 4x - x2  en  g(x) =  x3 - 8x + 50
Lijn l raakt de grafiek van f in de oorsprong, en raakt ook de grafiek van g.
In welk punt raakt l de grafiek van g?
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)