|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1. | a. | f(x) = x4 + 2x3
– 36x2 + 2 f ' = 4x3 + 6x2 – 72x f '' = 12x2 + 12x – 72 = 0 x2 + x – 6 = 0 (x – 2)(x + 3) = 0 x = 2 ∨ x = -3 In beide gevallen is er tekenwisseling bij f '' dus er is een buigpunt. dat geeft de buigpunten (2, -110) en (-3, -223) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| b. | f(x) = 2x√x
– 3x2 + 8x = 2x1,5
– 3x2 + 8x f ' = 3x0,5 – 6x f '' = 1,5x-0,5 – 6 = 0 1,5x-0,5 = 6 x-0,5 = 4 x = 1/16 er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt dat geeft buigpunt (1/16, 133/256) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| c. |
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8x5
– 16x3
– 24x = 0 8x(x4 – 2x2 – 3) = 0 8x(x2 – 3)(x2 + 1) = 0 x = 0 ∨ x = √3 ∨ x = -√3 er is elke keer tekenwisseling in f '' dus er zijn drie buigpunten. dat geeft de buigpunten (-√3, -√3) en (0, 0) en (√3, √3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| d. | f(x) = x2 • (1
–
√x) = x2
–
x2,5 f ' = 2x – 2,5x1,5 f '' = 2 – 3,75x0,5 = 0 2 = 3,75x0,5 x0,5 = 8/15 x = 64/225 er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt dat geeft buigpunt (64/225, 32768/759375) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| zoiets. De stippen komen overeen met de stippen op de tekenbeelden. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. | f(x) = 3x3
+ 9x2 + 2x + c f '(x) = 9x2 + 18x+ 2 f ''(x) = 18x + 18 Dat is nul als x = -1 Dus als de functie dan zelf ook nul is dan is het buigpunt gelijk aan het nulpunt. f(-1) = -3 + 9 - 2 + c = 0 c = -4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5. | a. |
x3
– 4x2 + 2x + 5 f ' = 3x2 – 8x + 2 f ' = 0 ⇒ (ABC) x = (8 ±√40)/6 = 4/3 ± 1/6√40 en daar midden tussenin ligt x = 4/3 De toppen zijn ongeveer (2.386, 0.583) en (0.279, 5.268) Daar midden tussenin ligt (4/3, 2.926) f '' = 6x – 8 dus een buigpunt bij x = 8/6 = 4/3 en dan is y = 2.926 Het buigpunt ligt inderdaad midden tussen beide toppen. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| b. | De afstand is 21
– 2x
– (x3
– 4x2 + 2x + 5)
en die is maximaal als de afgeleide daarvan nul is: -2 – 3x2 + 8x – 2 = 0 3x2 – 8x + 4 = 0 x = (8 ± √(16))/6 = 2 of 2/3 x = 2 geeft afstand 16 x = 2/3 geeft afstand 400/27 = 14,81 De maximale afstand is 16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6. | g(x) = x3
- 12x2 + 272 g '(x) = 3x2 - 24x g ''(x) = 6x - 24 Dat is nul als x = 4 en het buigpunt is (4, 144) f(x) = x2 + 64Öx = x2 + 64x0,5 f '(x) = 2x + 32x-0,5 f ''(x) = 2 - 16x-1,5 f ''(4) = 2 - 16 · 4-1,5 = 0 dus x = 4 geeft voor f een buigpunt. f(4) = 42 + 64Ö4 = 144 De buigpunten zijn dus gelijk. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7. | a. |
|
|
|
|
|||
| Dat is nul als
6px - 24 = 0 dus x = 4/p. y is dan (4 - 2)/(4/p)³ = 2 • (p/4)3 = 1/32• p3 y = x als 4/p = 1/32 • p3 128 = p4 p = 1281/4 |
|||
| b. | f ' = g
' geeft: (-8x + 6)/x4
= -a/x²
-8x + 6 = -ax2 f = g geeft: (4x - 2)/x³ = a/x 4x - 2 = ax2 Samen geeft dat 4x - 2 = -(-8x + 6) 4x - 2 = 8x - 6 4 = 4x x = 1 Dan is 4 • 1 - 2 = a • 12 ⇒ a = 2 Het raakpunt is het punt (1, 2) |
||
| c. | fp
'(x) = 0 ⇒ -2px + 6
= 0 ⇒ x = 3/p Dan is y = 1/(3/p)³ = 1/27 • p3 OT = √(x2 + y2) = √(9/p² + 1/729• p6) Dat is minimaal als dat deel onder de wortel minimaal is. 9/p² + 1/729• p6 is minimaal De afgeleide daarvan is dan nul: -18/p³ + 6/729 • p5 = 0 -18 + 6/729 • p8 = 0 6/729• p8 = 18 p8 = 18 • 729/6 = 2187 p = 21871/8 = 2,62 |
||
