1

			© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1.	De lengte van het lijnstuk is L = f(p) - g(p) = x • e^0,5x - (e^0,5x - 2) Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is: L' = 1 • e^0,5x + x • 0,5 • e^0,5x - 0,5 • e^0,5x = 0 e^0,5x • (1 + 0,5x - 0,5) = 0 1 + 0,5x - 0,5 = 0 x = -1 L(-1) = -1 • e^-0,5 - (e^-0,5 - 2) = 2 - 2e^-0,5 = 2 - ²/_√e

2.	a.	Als de palen 4 meter uit elkaar staan, en het laagste punt ligt bij x = 0, dan bevinden de palen zich bij x = 2 en x = -2 a = 0,8 geeft y = 0,4 • (e^1,25x+ e^-^1,25x) De afgeleide is dan y' = 0,4 • (e^1,25x • 1,25 + e^-1,25x • -1,25) x = 2 geeft y' (2) = 0,4 • (e^2,5 • 1,25 + e^-2,5• -1,25) = 6,05 dat is de helling van de ketting, en die maakt met een horizontale lijn een hoek waarvoor tanα = 6,05, dus α = 81º dus de hoek met een verticale lijn (de paal) is 90 - 81 = 9º Vanwege de symmetrie is de hoek in het ophangpunt x = -2 dan -9º

	b.	x = 0 moet y = 2 geven. x = 0: 0,5 • a • (1 + 1) = 2 geeft a = 2

3.	De grafieken raken elkaar als geldt f = g en f ' = g' De eenvoudigste is de tweede, dus daar beginnen we mee: f ' = g' (met de productregel): (x² - 2x + 1) • e^x + (2x - 2) • e^x = 3 • e^x x² - 2x + 1 + 2x - 2 = 3 x² = 4 x = 2 ∨ x = -2 Dan f = g; (x² - 2x + 1) • e^x = 3 • e^x + p x = 2 geeft e²= 3e² + p dus p = -2e² x = -2 geeft 9e^-2 = 3e^-2 + p dus p = 6e^-2

4.	f '(x) = e^{0,5 - x²} • -2x f '(1) = e^-0,5 • -2 = ^-2/_√edusde raaklijn is de lijn y = ^-2/_√e•x + b f(1) = e^-0,5 = ¹/_√_e dus moet gelden ¹/_√_e = ^-2/_√e•1 + b ⇒ b = ³/_√_e De raaklijn is de lijn y = ^-2/_√e•x + ³/_√_e y = 0 geeft dan 0 = ^-2/_√e•x + ³/_√_e ²/_√e•x = ³/_√_e x = 1,5 Het snijpunt met de x-as is (1.5, 0)

5.	Je vindt de extreme waarde als de afgeleide nul is: f '(x) = (4x + p) • e^x^² • 2x + 4 • e^x^² = 0 e^x^² •(8x² + 2px + 4) = 0 8x² + 2px + 4 = 0 Dat heeft maar geen oplossing als de discriminant kleiner dan nul is: (2p)² - 4 • 8 • 4 < 0 4p² < 128 p² < 32 -√32 < p < √32 ook bij p = ±√32 is er geen extreme waarde: dan vallen minimum en maximum samen en is er een buigpunt.

6.	f(x) = e^{5 - x²} f '(x) = -2xe^{5 - x²} f ''(x) = -2e^{5 - x²} + -2x•-2xe^{5 - x²} = e^{5 - x²} • (-2 + 4x²) = 0 -2 + 4x²= 0 x² = ¹/₂ x = ±√¹/₂ er is steeds een tekenwisseling in f '' dus er zijn twee buigpunten. dat zijn dan de punten (√¹/₂ , e^4,5) en (-√¹/₂ , e^4,5)

7.	a.	P(t) = 0,8P₀ geeft 0,8P₀ = P₀ • e^-0,000029t 0,8 = e^-0,000029t Y1 = 0,8 en Y2 = e^(-0,000029X) en dan intersect geeft t = 7695

	b.	P(t) = 100 • e^-0,000029t geeft P'(t) = 100 • -.000029 • e^-0,000029t P'(20000) = 100 • -0,000029 • e^{-0,000029 • 20000} = -0,0016 Dat stelt voor: de snelheid waarmee het stralingsniveau per jaar afneemt op tijdstip t = 20000

8.	a.	0,3I₀ = I₀ • e^{-0,9 • 0,12 • l} 0,3 = e^{-0,108• l} Y1 = 0,3 en Y2 = e^(-0,108X) en dan intersect geeft l = 11,1 meter

	b.	Als de intensiteit afneemt met 1% per meter, dan is I ' = -0,01 • I I' = I₀ • e^{-0,108 • l} • -0,108 = -0,01 • I₀e^{-0,108 • l} = 0,0926 Y1 = e^(-0,108X) en Y2 = 0,0926 en dan intersect geeft l = 22 meter

9.
	Daaruit volgt direct dat 4p - 1 = 0 dus p = ¹/₄

10.	a.
		Dat kan alleen nul zijn als 2pe^x = 0 en dat is alleen zo als p = 0 Maar voor p = 0 is de functie gelijk aan f(x) = 2 en die heeft geen extremen.

	b.
		2e^x = e^x • (e^x+ p)Noem nu e^x = a dan staat hier 2a = a(a + p) 0 = a² + a(p - 2) 0 = a(a + p - 2) a = 0 ∨ a = 2 - p e^x = 0 ∨ e^x = 2 - p De eerste heeft geen oplossing. e^x = 2 - p heeft geen oplossing als p ≥ 2 Er zijn dus geen snijpunten als p ≥ 2

11.	a.
		Dat is nul als 1 - ¹/_x = 0 x = 1 en dan is y = e. Het minimum is het punt (1, e)

	b.	Als de raaklijnen in x = p en x = -p loodrecht op elkaar staan, dan moet gelden: f '(p) • f '(-p) = -1

		¹/_p2 = 1 p² = 1 p = ±1

12.	Voor de lengte L geldt: L = x² • e^-0,5x - (x + 2) • e^-0,5x want voor x > 2 ligt de grafiek van f boven die van g L is maximaal als de afgeleide nul is: L ' = 2x • e^-0,5x + x² • -0,5 • e^-0,5x - 1 • e^-0,5x - (x + 2) • -0,5 • e^-0,5x = 0 e^-0,5x • (2x - 0,5x² - 1 + 0,5x + 1) = 0 -0,5x² + 2,5x = 0 x(-0,5x + 2,5) = 0 x = 0 ∨ x = 5 x = 5 geeft dan L(5) = 25 • e^-2,5 - 7 • e^-2,5 = 18 • e^-2,5 = 1,48

13.	a.	x ≥ 2: f ' = 4 • e^{(-0,5 + 0,25x)} • 0,25 (die 0,25 komt van de kettingregel) en f '(2) = 1 x ≥ 2: f ' = ³/₂ - ¹/₂x en f '(2) = ¹/₂

	b.	Bereken eerst de top: f '= 0 geeft ³/₂ - ¹/₂x = 0 en dus x = 3, en y = 1 + 3.2 • 3 - ¹/₄ • 3² = 3¹/₄. De grafiek moet dus 3 naar links geschoven worden en 3¹/₄ omlaag. Dan moet x worden vervangen door (x + 3) en bovendien moet er -3¹/₄ achter de hele formule gezet worden. Dat geeft: y = -1 + 4e^{(-0,5 + 0,24(x + 3))} - 3¹/₄

14.	a.	Voer de functie f en de lijnen y = -0,1 en y = 0,1 in in de GR. Gebruik INTERSECT om de snijpunten te vinden. Dat geeft x = 0,11 en x = 3,58 en x = -0,09 Lees vervolgens af waar de grafiek van f tussen beide lijnen in ligt. Dat is zo voor -0,09 < x < 0,11 of x > 3,58

	b.	Met de productregel en de kettingregel: f '(x) = 1 • e^-x + x • e^-x • -1 = e^-x • (1 - x) Voor de top geldt f '(x) = 0 dus e^-x • (1 - x) = 0 en dat is zo als x = 1 f (1) = 1 • e^-1 = ¹/_e de top is dus het punt (1 , ¹/_e)

	c.	A is het snijpunt van de lijn y = 0,25x met f(x) = x • e^-x dus moet gelden 0,25x = x • e^-x ofwel e^-x = 0,25 e^-x = 0,25 Y1 = e^(-X) en Y2 = 0,25 en dan intersect levert a = 1,386

	d.	De lengte ST is gelijk aan x • e ^-x - 0,25x (het verschil van beide y -coördinaten) Voer deze vergelijking in in de GR en bereken met CALC - Maximum de maximale waarde van ST. Dat geeft x ≈ 0,562 en een maximum van ST_MAX ≈ 0,180

15.	a.	0,035 = 0,12 • t • e^-0,5^t Deze moet met de GR: Y1 = 0,035 en Y2 = 0,12 • X • e ^(-0,5 * X) window bijv. Xmin = 0, Xmax = 10, Ymin = 0, Ymax = 0,1 intersect geeft twee snijpunten: t = 0,3469 en t = 6,0715 De tijd daartussen is 5,7246 5,7246 • 60 = 343 minuten

	b.	productregel: C ' = 0,12 • 1 • e^-0,5t+ 0,12t • e^-0,5^t• -0,5 (de laatste -0,5 komt van de kettingregel) = 0,12 (1 • e^-0,5t - 0,5t • e^-0,5t) = 0,12 • (1 - 0,5t) • e^-0,5t

	c.	De concentratie neemt het sterkst af als C'(t) zo groot mogelijk negatief is. Plot de grafiek en bereken dat minimum met calc - minimum van je GR. Dat geeft t = 4 Het kan uiteraard ook algebraïsch: C'is minimaal als C'' = 0 C'' = 0,12 • -0,5 • e^-0,5t + 0,12 • (1 - 0,5t) • e^-0,5t • -0,5 = e^-0,5t • (-0,06 - 0,06 + 0,03t) = e^-0,5t • (-0,12 + 0,03t) Dat is nul als -0,12 + 0,03t = 0 ⇒ t = 4

	d.	Tussen t = 18 en t = 24 geldt: C* = C(t) + C(t - 6) + C(t - 12) + C(t - 18) Voer in in de GR: Y1 = 0,12 • X • e ^(-0,5X) Y2 = Y1(X) + Y1(X - 6) + Y1(X - 12) + Y1(X - 18) (Y1 vind je bij VARS) Bepaal het maximum van Y2 tussen t = 18 en t = 24 Dat geeft een maximum van C = 0,1087 bij t = 19,68 De concentratie kom dus NIET boven de 0,11.

16.	a.	PQ = PS geeft 2p = e^-p² Y1 = 2X en Y2 = e^(-X^2) en dan intersect geeft p ≈ 0,41936 De oppervlakte is dan p² ≈ 0,176

	b.	De oppervlakte is gelijk aan O = PQ • PS = 2p • e^-p² Bij het maximum moet de afgeleide nul zijn. Met de productregel en de kettingregel: O' = 2 • e^-p²+ 2p • e^-p² • -2p = 2e^-p²• (1 - 2p²) O'= 0 ⇒ 1 - 2p² = 0 ⇒ p² = ¹/₂ ⇒ p = ±√(¹/₂) = ±¹/₂√2 Omdat p > 0 moet gelden p = ¹/₂√2. Het bewijs dat het inderdaad om een maximum gaat volgt uit het tekenbeeld van O', (0)+++++(¹/₂√2)--------

17.	a.	Met de kettingregel: U ' = 12 • e^(-t/20) • -¹/₂₀ = -³/₅ • e^(-t/20) Vul t = 0 in: U'(0) = -³/₅ • e⁰ = -³/₅ (Volt/seconde)

	b.	Als elke C gelijk is aan 0,01 en er zijn n condensatoren, dan geldt: (¹/_CS) = n • (¹/_0,01) = 100n dus C_S = ¹/_(100n)Dezevergelijking voor C_S en t = 10invullen in de formule voor U en gelijkstellen aan 10:

		Invullen in de GR: Y1 = 10 en Y2 = 12 * (1 - e ^ (-10/(2000/(100X)))) Intersect geeft n = 3,58... Er zijn dus 4 condensatoren nodig.

18.	a.	f(x) = 10xe^-x f ' = 10e^-x + 10xe^-x · -1 = e^-x· (10 - 10x) f '(0) = 10 dan is tanα = 10 ⇒ α = 84˚

	b.	f ' = e^-x· (10 - 10x) = 0 10 - 10x = 0 x = 1 f(1) = 10e^-1= 3,68

	c.	De helling van OA = ^y/_x = 10xe^-x/_x = 10e^-x 10e^-x = 2 e^-^x= 0,2 -x = ln(0,2) = -ln5 x = ln5

19.	f_a(x) = a • e^x - e^2x f_a' = ae^x - 2e^2x f_a ' = 0 ⇒ ae^x - 2e²^x = 0 ⇒ e^x(a - 2e^x) = 0 ⇒ a = 2e^x ⇒ e^x = 0,5a ⇒ x = ln(0,5a) Dat betekent dat x_U = ln(0,5a) x_S = lna x_S - x_U = lna - ln(0,5a) = lna - ln(0,5) - lna = -ln(0,5) = ln2 Dat is inderdaad onafhankelijk van a

20.	f(x) = e geeft e^px = e dus px = 1 dus x = ¹/_p f '(x) = pe^px dus f '(¹/_p) = pe De raaklijn is y = pex + b en gaat door (¹/_p, e): e = pe • ¹/_p + b ⇒ b = 0 Dus de raaklijn gaat door de oorsprong.

21.	a.	f '(x) = 2e^2x en g'(x) = 4e^4x 2e^2x = 4e^4x noem nu e^2x = p dan staat er 2p = 4p² 2p - 4p² = 0 2p(1 - 2p) = 0 p = 0 ∨ p = ¹/₂. e^2x = 0 geeft geen oplossing e^2x = ¹/₂ ⇒ 2x = ln(¹/₂) ⇒ x = ¹/₂ln(¹/₂)

	b.	y = p p = e^2x ⇒ 2x = lnp ⇒ x = ¹/₂lnp p = e^4x⇒ 2x = lnp ⇒ x = ¹/₄lnp De afstand daartussen is ¹/₂lnp - ¹/₄lnp = ¹/₄lnp = 1 lnp = 4 p = e⁴ en dat is de gevraagde y-waarde.

22.	P = (p, e^p) f'(x) = e^x dus f '(p) = e^p De raaklijn is de lijn y = e^p^•x + b en gaat door (p, e^p) Dat geeft e^p = e^p • p + b dus b = (1 - p)e^p en de raaklijn is de lijn y = e^p • x + (1 - p)e^p A = (0, (1 - p)e^p) dus OA = (1 - p)e^p Voor B geldt: e^p • x + (1 - p)e^p = 0 dus x = -(1 - p) dus OB = (1 - p) De oppervlakte is dan 0,5 • (1 - p) • (1 - p)e^p = 0,5(1 - p)² • e^p Dat is maximaal als de afgeleide nul is: (1 - p)e^p + 0,5(1 - p²)e^p = 0 e^p(1 - p + 0,5 - 0,5p²) = 0 1,5 - p - 0,5p² = 0 p² - 2p - 3 = 0 (p + 1)(p - 3) = 0 p = -1 ∨ p = 3 p = -1 geeft maximale oppervlakte ²/_e

23.	f ' = 1 • e^ax + x • a • e^ax voor de top geldt f ' = 0 f_a'(x) = e^ax+ axe^ax = 0 e^ax(1 + ax) = 0 e^ax = 0 ∨ 1 + ax = 0 ax = -1 (want e^ax kan niet nul zijn) x = -¹/_a y = xe^ax = x • e^-1 = ¹/_e • x (want ax = a • -¹/_a = -1)

24.	raaklijn in punt P: f '(p) = ¹/_p² • e^-1/p dus dat is de r.c. van de raaklijn. punt (p, e^-1/p) invullen geeft e^-1/p = ¹/_p² • e^-1/p • p + b dat geeft b = e^-1/p (1 - ¹/_p) raaklijn gelijkstellen aan nul: ¹/_p² • e^-1/p• x + e^-1/p (1 - ¹/_p) = 0 ¹/_p² • x = -1 + ¹/_px = -p² + p Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is: -2p + 1 = 0 Dus p = ¹/₂ Dan is x = ¹/₄

25.	P = (p, pe^p) en Q = (2p, 2pe^2p) rc PQ is gelijk aan (2pe^2p - pe^p)/_{(2p - p)} = 6 2pe^2p - pe^p= 6pAlles delen door p: 2e²^p - e^p = 6 Noem e^p = a, dan is e²^p = a² Dat geeft 2a² - a = 6 2a² - a - 6 = 0 a = ^{(1 ±√49)}/₄ a = 2 ∨ a = -1,5 e^p = 2 ∨ e^p = -1,5 (maar dat laatste kan niet) p = ln(2)

26.	Vierkant V heeft zijden p dus oppervlakte p² Vierkant W heeft zijden e^p dus oppervlakte e^2p De verhouding is ^p²/_e2p Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is. Met de quotiëntregel:

	Dat is nul als de teller nul is: 2pe^2p - 2p² e^2p = 0 2e^2p(p - p² ) = 0 p - p² = 0 p(1 - p) = 0 p = 0 ∨ p = 1 p = 1 geeft R = ¹/_e²

27.	a.	Bij het maximum is de afgeleide nul: R' = 100 • e^{(-0,1t³ + 0,5t²)} • (-0,3t² + t) = 0 -0,3t² + t = 0 t(-0,3t + 1) = 0 t = 0 ∨ t = 3¹/₃ Het maximum vind je bij t = 3¹/₃ en R(3¹/₃) = 637 ratten

	b.	R'(4) = 100 • e^{(-0,1• 64 + 0,5• 16)} • (-0,3•16 + 4) = -396 ratten per dag

	c.	plot: Y1 = 100e^(-0,1X^3+0,5*X^2) Y2 = nDeriv(Y1, X, X) calc - maximum - Y2 geeft dan t = 2,41

28.	a.	30 = 65 • e^-0,012k Y1 = 30 en Y2 = 65 * e^(-0,012X) en dan intersect geeft maximaal 64 andere kinderen

	b.	hoeveelheid snoep = aantal kinderen * aantal snoepjes per kind H = k • S = k • 65 • e^-0,012kH is maximaal als H' nul is: 1 • 65 • e^-0,015k + k • 65 • e^-0,012k• -0,012 = 0 e^-0,012k • (65 - 0,78k) = 0 65 - 0,78k = 0 k = 83, 33 k = 83 geeft H = 1992,7 k = 84 geeft H = 1992,6 Dus H = 1992,7 is de maximale hoeveelheid snoep (bij 83 kinderen)

29.	f(x) = x • e^-^x f ' = 1 • e^-x + -1 • x • e^-x = e^-x(1 - x) f '' = -e^-x(1 - x) + e^-x • -1 = e^-x (-1 + x - 1) = (x - 2)e^-x Dat is nul en heeft tekenwisseling als x = 2 x = 2 geeft helling f '(2) = e^-2 (1 - 2) = -e^-2 dus de raaklijn is y = -e^-2 • x + b x = 2 geeft raakpunt f(2) = 2e^-2 2e^-2 = -e^-2 • 2 + b Þ b = 4e^-2 de raaklijn is de lijn y = -e^-2x + 4e^-2

30.	noem de constanten even c en d , dan staat er y = c • e^{-d(x - m)²} y' = -2d(x - μ)ce^{-d(x - μ)}^² y'' = -2d ce^{-d(x - μ)}^² + -2d(x - μ) • -2d(x - μ) • ce^{-d(x - μ)}^² = 0 ce^{-d(x - μ)}^²• {-2d + 4d²• (x - μ)²} = 0 -2d + 4d²• (x - μ)²= 0 (x - μ)² = ^2d/_4d²= ¹/₂_d d = ¹/₂_σ2 geeft dan (x - μ)² = σ² x - μ = ± σ x = μ ± σ

31.	f(x) = (x² - a)e^2x f ' = 2xe^2x + (x² - a)2e^2x = e^2x • (2x + 2x² - 2a) f '' = 2e^2x(2 + 2x² - 2a) + e^2x•(2 + 4x) = e^2x • {4 + 4x² - 4a + 2 + 4x} Dat moet nul zijn voor x = 1: 4 + 4 - 4a + 2 + 4 = 0 4a = 14 a = 3¹/₂ 4 + 4x² - 4 • 3¹/₂ + 2 + 4x = 0 4x² + 4x - 8 = 0 x² + x - 2 = 0 (x - 1)(x + 2) = 0 x = 1 ∨ x = -2 het tweede buigpunt is (-2, ¹/₂e^-4)

32.	f(x) = 2x • e^{1 - x} f ' = 2e^{1 - x} + 2x • -1 • e^{1 - x} = e^{1 - x} • (2 - 2x) f '' = -e^{1 - x} (2 - 2x) + e^{1 - x} • -2 = e¹^-^x • (-2 + 2x - 2) = e¹^-^x • (2x - 4) = 0 dat geeft 2x - 4 = 0 Þ x = 2 Het buigpunt bevindt zich bij x = 2 f '(2) = e^1-2 • (2 - 4) = -2e^-1 dus de buigraaklijn is y = -2e^-1x+ b f(2) = 4 • e^-1 dus 4e^-1 = -2e^-1 • 2 + b Þ b = 8e^-1 de buigraaklijn is de lijn y = -2e^-1x + 8e^-1

33.	a.	f(x) = x² • e ^-^√2x f ' = 2xe^-√2x + x² • -√2 • e^-√2x = e^-√2x•{2x - x²√2) f '' = -√2e^-√2x (2x - x²√2) + e^-√2x (2 - 2x√2) = 0 e^-√2x • {-√2(2x - x²√2) + (2 - 2x√2)) = 0 -2x√2 + 2x² + 2 - 2x√2 = 0 x² - 2x√2 + 1 = 0 ABC-formule: x = ^{(2√2 ± √}^{(8 - 4))}/₂ = √2 ± 1

	b.	f '(x) = 2xe^-ax - ax²e^-ax f ''(x) = 2e^-ax - 2axe^-ax - 2axe^-ax + a²x²e^-ax f ''(x) = e-ax(a²x² - 4ax + 2) Dat is nul als a²x² - 4ax + 2 = 0 x = ^{(4a ± Ö}^(16a²^-^8a²⁾⁾/_(2a_²) De afstand tussen die twee x-waarden is ^2Ö(8a²⁾/_(2a_²) ^2Ö(8a²⁾/_(2a_²) = Ö2 ^Ö(8a²⁾/_(a_²) = Ö2 Ö(8a²) = a² Ö2 2aÖ2 = a²Ö2 2a = a² a = 0 ∨ a = 2 Alleen a = 2 voldoet

34.	x = 5 is een verticale lijn en als die de grafiek loodrecht snijdt dan loopt de grafiek in dat snijpunt horizontaal, dus is de helling nul. f(x) = (2x² + px)e^-x f ' = (4x + p)e^-x + (2x² + px)·-e^-x = 0 x = 5 geeft dan e^-⁵• (20 + p - 50 - 5p) = 0 20 + p - 50 - 5p = 0 -4p = 30 p = -7¹/₂

35.	f = g geeft e^-0,5x = p√x f ' · g' = -1 geeft -0,5e^-0,5x · ^p/_2√x = -1 e^-0,5x is gelijk aan p√x dus dat kun je in die tweede formule daardoor vervangen: -0,5 · p√x · ^p/_2√x = -1 -0,25p² = -1 p² = 4 p = 2

36.	f ' = 2 • e^0,5x dus f '(p) = 2 • e^0,5p g ' = -0,5 • e^-^0,5x dus g '(p) = -0,5 • e^-0,5p f ' • g' = 2 • e^0,5p • -0,5 • e^-0,5p = -1 dus dat is inderdaad loodrecht.