© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||
![]() |
|||
1. | De lengte van het
lijnstuk is L = f(p) - g(p) = x e0,5x
- (e0,5x
- 2) Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is: L' = 1 e0,5x + x 0,5 e0,5x - 0,5 e0,5x = 0 e0,5x (1 + 0,5x - 0,5) = 0 1 + 0,5x - 0,5 = 0 x = -1 L(-1) = -1 e-0,5 - (e-0,5 - 2) = 2 - 2e-0,5 = 2 - 2/√e |
||
2. | a. | Als de palen 4 meter
uit elkaar staan, en het laagste punt ligt bij x = 0, dan bevinden de palen zich bij x = 2 en x = -2 a = 0,8 geeft y = 0,4 (e1,25x + e-1,25x) De afgeleide is dan y' = 0,4 (e1,25x 1,25 + e-1,25x -1,25) x = 2 geeft y' (2) = 0,4 (e2,5 1,25 + e-2,5 -1,25) = 6,05 dat is de helling van de ketting, en die maakt met een horizontale lijn een hoek waarvoor tanα = 6,05, dus α = 81Ί dus de hoek met een verticale lijn (de paal) is 90 - 81 = 9Ί Vanwege de symmetrie is de hoek in het ophangpunt x = -2 dan -9Ί |
|
b. | x = 0 moet y = 2
geven. x = 0: 0,5 a (1 + 1) = 2 geeft a = 2 |
||
3. | De grafieken raken
elkaar als geldt f = g en f ' = g'
De eenvoudigste is de tweede, dus daar beginnen we mee: f ' = g' (met de productregel): (x2 - 2x + 1) ex + (2x - 2) ex = 3 ex x2 - 2x + 1 + 2x - 2 = 3 x2 = 4 x = 2 ∨ x = -2 Dan f = g; (x2 - 2x + 1) ex = 3 ex + p x = 2 geeft e2 = 3e2 + p dus p = -2e2 x = -2 geeft 9e-2 = 3e-2 + p dus p = 6e-2 |
||
4. | f '(x)
= e0,5 - x²
-2x f '(1) = e-0,5 -2 = -2/√e dus de raaklijn is de lijn y = -2/√e x + b f(1) = e-0,5 = 1/√e dus moet gelden 1/√e = -2/√e 1 + b ⇒ b = 3/√e De raaklijn is de lijn y = -2/√e x + 3/√e y = 0 geeft dan 0 = -2/√e x + 3/√e 2/√e x = 3/√e x = 1,5 Het snijpunt met de x-as is (1.5, 0) |
||
5. | Je vindt de extreme
waarde als de afgeleide nul is: f '(x) = (4x + p) ex² 2x + 4 ex² = 0 ex² (8x2 + 2px + 4) = 0 8x2 + 2px + 4 = 0 Dat heeft maar geen oplossing als de discriminant kleiner dan nul is: (2p)2 - 4 8 4 < 0 4p2 < 128 p2 < 32 -√32 < p < √32 ook bij p = ±√32 is er geen extreme waarde: dan vallen minimum en maximum samen en is er een buigpunt. |
||
6. | f(x) = e5 - x²
f '(x) = -2xe5 - x² f ''(x) = -2e5 - x² + -2x-2xe5 - x² = e5 - x² (-2 + 4x2) = 0 -2 + 4x2 = 0 x2 = 1/2 x = ±√1/2 er is steeds een tekenwisseling in f '' dus er zijn twee buigpunten. dat zijn dan de punten (√1/2 , e4,5) en (-√1/2 , e4,5) |
||
7. | a. | P(t) = 0,8P0
geeft 0,8P0 = P0 e-0,000029t
0,8 = e-0,000029t Y1 = 0,8 en Y2 = e^(-0,000029X) en dan intersect geeft t = 7695 |
|
b. | P(t) = 100
e-0,000029t geeft P'(t)
= 100 -.000029 e-0,000029t P'(20000) = 100 -0,000029 e-0,000029 20000 = -0,0016 Dat stelt voor: de snelheid waarmee het stralingsniveau per jaar afneemt op tijdstip t = 20000 |
||
8. | a. | 0,3I0 = I0
e-0,9 0,12 l 0,3 = e-0,108 l Y1 = 0,3 en Y2 = e^(-0,108X) en dan intersect geeft l = 11,1 meter |
|
b. | Als de intensiteit
afneemt met 1% per meter, dan is I ' = -0,01 I I' = I0 e-0,108 l -0,108 = -0,01 I0 e-0,108 l = 0,0926 Y1 = e^(-0,108X) en Y2 = 0,0926 en dan intersect geeft l = 22 meter |
||
9. |
![]() |
||
Daaruit volgt direct dat 4p - 1 = 0 dus p = 1/4 | |||
10. | a. |
![]() |
|
Dat kan alleen nul zijn als
2pex = 0 en dat is alleen zo als p = 0 Maar voor p = 0 is de functie gelijk aan f(x) = 2 en die heeft geen extremen. |
|||
b. |
![]() |
||
2ex = ex
(ex + p) Noem nu ex = a dan staat hier 2a = a(a + p) 0 = a2 + a(p - 2) 0 = a(a + p - 2) a = 0 ∨ a = 2 - p ex = 0 ∨ ex = 2 - p De eerste heeft geen oplossing. ex = 2 - p heeft geen oplossing als p ≥ 2 Er zijn dus geen snijpunten als p ≥ 2 |
|||
11. | a. |
![]() |
|
Dat is nul als
1 -
1/x
= 0 x = 1 en dan is y = e. Het minimum is het punt (1, e) |
|||
b. | Als de raaklijnen in x = p en x = -p loodrecht op elkaar staan, dan moet gelden: f '(p) f '(-p) = -1 | ||
![]() |
|||
1/p2
= 1 p2 = 1 p = ±1 |
|||
12. | Voor de lengte L
geldt: L = x2 e-0,5x
- (x + 2) e-0,5x want voor
x > 2 ligt de grafiek van f boven die van g L is maximaal als de afgeleide nul is: L ' = 2x e-0,5x + x2 -0,5 e-0,5x - 1 e-0,5x - (x + 2) -0,5 e-0,5x = 0 e-0,5x (2x - 0,5x2 - 1 + 0,5x + 1) = 0 -0,5x2 + 2,5x = 0 x(-0,5x + 2,5) = 0 x = 0 ∨ x = 5 x = 5 geeft dan L(5) = 25 e-2,5 - 7 e-2,5 = 18 e-2,5 = 1,48 |
||
13. | a. | x
≥ 2: f ' = 4 e(-0,5
+ 0,25x) 0,25 (die 0,25 komt van de kettingregel)
en f '(2) = 1 x ≥ 2: f ' = 3/2 - 1/2x en f '(2) = 1/2 |
|
b. | Bereken eerst de top: f '= 0 geeft 3/2 - 1/2x = 0 en dus x = 3, en y = 1 + 3.2 3 - 1/4 32 = 31/4. De grafiek moet dus 3 naar links geschoven worden en 31/4 omlaag. Dan moet x worden vervangen door (x + 3) en bovendien moet er -31/4 achter de hele formule gezet worden. Dat geeft: y = -1 + 4e(-0,5 + 0,24(x + 3)) - 31/4 |
||
14. | a. | Voer de functie f
en de lijnen y = -0,1 en y = 0,1 in in de GR. Gebruik INTERSECT om de snijpunten te vinden. Dat geeft x = 0,11 en x = 3,58 en x = -0,09 Lees vervolgens af waar de grafiek van f tussen beide lijnen in ligt. Dat is zo voor -0,09 < x < 0,11 of x > 3,58 |
|
b. | Met de productregel
en de kettingregel: f '(x) = 1 e-x + x e-x -1 = e-x (1 - x) Voor de top geldt f '(x) = 0 dus e-x (1 - x) = 0 en dat is zo als x = 1 f (1) = 1 e-1 = 1/e de top is dus het punt (1 , 1/e) |
||
c. | A is het snijpunt van
de lijn y = 0,25x met
f(x) = x e-x dus moet
gelden 0,25x = x e-x
ofwel e-x = 0,25 e-x = 0,25 Y1 = e^(-X) en Y2 = 0,25 en dan intersect levert a = 1,386 |
||
d. | De
lengte ST is gelijk aan x e -x
-
0,25x (het verschil van beide y -coφrdinaten) Voer deze vergelijking in in de GR en bereken met CALC - Maximum de maximale waarde van ST. Dat geeft x ≈ 0,562 en een maximum van STMAX ≈ 0,180 |
||
15. | a. | 0,035 = 0,12 t
e-0,5t Deze moet met de GR: Y1 = 0,035 en Y2 = 0,12 X e ^(-0,5 * X) window bijv. Xmin = 0, Xmax = 10, Ymin = 0, Ymax = 0,1 intersect geeft twee snijpunten: t = 0,3469 en t = 6,0715 De tijd daartussen is 5,7246 5,7246 60 = 343 minuten |
|
b. | productregel: C ' = 0,12 1 e-0,5t + 0,12t e-0,5t -0,5 (de laatste -0,5 komt van de kettingregel) = 0,12 (1 e-0,5t - 0,5t e-0,5t) = 0,12 (1 - 0,5t) e-0,5t |
||
c. | De concentratie
neemt het sterkst af als C'(t) zo groot mogelijk negatief is. Plot de grafiek en bereken dat minimum met calc - minimum van je GR. Dat geeft t = 4 Het kan uiteraard ook algebraοsch: C'is minimaal als C'' = 0 C'' = 0,12 -0,5 e-0,5t + 0,12 (1 - 0,5t) e-0,5t -0,5 = e-0,5t (-0,06 - 0,06 + 0,03t) = e-0,5t (-0,12 + 0,03t) Dat is nul als -0,12 + 0,03t = 0 ⇒ t = 4 |
||
d. | Tussen t
= 18 en t = 24 geldt: C* = C(t) + C(t - 6) + C(t - 12) + C(t - 18) Voer in in de GR: Y1 = 0,12 X e ^(-0,5X) Y2 = Y1(X) + Y1(X - 6) + Y1(X - 12) + Y1(X - 18) (Y1 vind je bij VARS) Bepaal het maximum van Y2 tussen t = 18 en t = 24 Dat geeft een maximum van C = 0,1087 bij t = 19,68 De concentratie kom dus NIET boven de 0,11. |
||
16. | a. | PQ
= PS geeft 2p = e-p² Y1 = 2X en Y2 = e^(-X^2) en dan intersect geeft p ≈ 0,41936 De oppervlakte is dan p2 ≈ 0,176 |
|
b. | De
oppervlakte is gelijk aan O = PQ PS = 2p e-p² Bij het maximum moet de afgeleide nul zijn. Met de productregel en de kettingregel: O' = 2 e-p² + 2p e-p² -2p = 2e-p² (1 - 2p2) O'= 0 ⇒ 1 - 2p2 = 0 ⇒ p2 = 1/2 ⇒ p = ±√(1/2) = ±1/2√2 Omdat p > 0 moet gelden p = 1/2√2. Het bewijs dat het inderdaad om een maximum gaat volgt uit het tekenbeeld van O', (0)+++++(1/2√2)-------- |
||
17. | a. | Met de
kettingregel: U ' = 12 e(-t/20) -1/20
= -3/5 e(-t/20) Vul t = 0 in: U'(0) = -3/5 e0 = -3/5 (Volt/seconde) |
|
b. | Als
elke C gelijk is aan 0,01 en er zijn n condensatoren, dan geldt: (1/CS) = n (1/0,01) = 100n dus CS = 1/(100n) Deze vergelijking voor CS en t = 10 invullen in de formule voor U en gelijkstellen aan 10: |
||
![]() |
|||
Invullen in de
GR: Y1 = 10 en Y2 = 12 * (1 - e ^
(-10/(2000/(100X)))) Intersect geeft n = 3,58... Er zijn dus 4 condensatoren nodig. |
|||
18. | a. | f(x) = 10xe-x
f ' = 10e-x + 10xe-x · -1 = e-x · (10 - 10x) f '(0) = 10 dan is tanα = 10 ⇒ α = 84˚ |
|
b. | f ' =
e-x · (10
- 10x)
= 0 10 - 10x = 0 x = 1 f(1) = 10e-1 = 3,68 |
||
c. |
De helling van OA = y/x
= 10xe-x/x =
10e-x 10e-x = 2 e-x = 0,2 -x = ln(0,2) = -ln5 x = ln5 |
||
19. |
fa(x) = a ex
-
e2x fa' = aex - 2e2x fa ' = 0 ⇒ aex - 2e2x = 0 ⇒ ex(a - 2ex) = 0 ⇒ a = 2ex ⇒ ex = 0,5a ⇒ x = ln(0,5a) Dat betekent dat xU = ln(0,5a) xS = lna xS - xU = lna - ln(0,5a) = lna - ln(0,5) - lna = -ln(0,5) = ln2 Dat is inderdaad onafhankelijk van a |
||
20. | f(x) =
e geeft epx = e dus
px = 1 dus x = 1/p f '(x) = pepx dus f '(1/p) = pe De raaklijn is y = pex + b en gaat door (1/p, e): e = pe 1/p + b ⇒ b = 0 Dus de raaklijn gaat door de oorsprong. |
||
21. | a. | f '(x)
= 2e2x en g'(x)
= 4e4x 2e2x = 4e4x noem nu e2x = p dan staat er 2p = 4p2 2p - 4p2 = 0 2p(1 - 2p) = 0 p = 0 ∨ p = 1/2. e2x = 0 geeft geen oplossing e2x = 1/2 ⇒ 2x = ln(1/2) ⇒ x = 1/2ln(1/2) |
|
b. | y = p p = e2x ⇒ 2x = lnp ⇒ x = 1/2lnp p = e4x ⇒ 2x = lnp ⇒ x = 1/4lnp De afstand daartussen is 1/2lnp - 1/4lnp = 1/4lnp = 1 lnp = 4 p = e4 en dat is de gevraagde y-waarde. |
||
22. | P = (p,
ep) f'(x) = ex dus f '(p) = ep De raaklijn is de lijn y = ep x + b en gaat door (p, ep) Dat geeft ep = ep p + b dus b = (1 - p)ep en de raaklijn is de lijn y = ep x + (1 - p)ep A = (0, (1 - p)ep) dus OA = (1 - p)ep Voor B geldt: ep x + (1 - p)ep = 0 dus x = -(1 - p) dus OB = (1 - p) De oppervlakte is dan 0,5 (1 - p) (1 - p)ep = 0,5(1 - p)2 ep Dat is maximaal als de afgeleide nul is: (1 - p)ep + 0,5(1 - p2)ep = 0 ep(1 - p + 0,5 - 0,5p2) = 0 1,5 - p - 0,5p2 = 0 p2 - 2p - 3 = 0 (p + 1)(p - 3) = 0 p = -1 ∨ p = 3 p = -1 geeft maximale oppervlakte 2/e |
||
23. | f ' = 1 eax
+ x a eax voor de top geldt f ' = 0 fa'(x) = eax+ axeax = 0 eax (1 + ax) = 0 eax = 0 ∨ 1 + ax = 0 ax = -1 (want eax kan niet nul zijn) x = -1/a y = xeax = x e-1 = 1/e x (want ax = a -1/a = -1) |
||
24. | raaklijn in punt P: f '(p) = 1/p² e-1/p dus dat is de r.c. van de raaklijn. punt (p, e-1/p) invullen geeft e-1/p = 1/p² e-1/p p + b dat geeft b = e-1/p (1 - 1/p) raaklijn gelijkstellen aan nul: 1/p² e-1/p x + e-1/p (1 - 1/p) = 0 1/p² x = -1 + 1/p x = -p2 + p Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is: -2p + 1 = 0 Dus p = 1/2 Dan is x = 1/4 |
||
25. | P
= (p, pep) en Q = (2p,
2pe2p) rc PQ is gelijk aan (2pe2p - pep)/(2p - p) = 6 2pe2p - pep = 6p Alles delen door p: 2e2p - ep = 6 Noem ep = a, dan is e2p = a2 Dat geeft 2a2 - a = 6 2a2 - a - 6 = 0 a = (1 ±√49)/4 a = 2 ∨ a = -1,5 ep = 2 ∨ ep = -1,5 (maar dat laatste kan niet) p = ln(2) |
||
26. | Vierkant V heeft zijden p dus oppervlakte p2 Vierkant W heeft zijden ep dus oppervlakte e2p De verhouding is p²/e2p Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is. Met de quotiλntregel: |
||
![]() |
|||
Dat is
nul als de teller nul is: 2pe2p
- 2p2
e2p = 0 2e2p(p - p2 ) = 0 p - p2 = 0 p(1 - p) = 0 p = 0 ∨ p = 1 p = 1 geeft R = 1/e² |
|||
27. | a. | Bij het maximum is de afgeleide
nul: R' = 100 e(-0,1t³ + 0,5t²) (-0,3t2 + t) = 0 -0,3t2 + t = 0 t(-0,3t + 1) = 0 t = 0 ∨ t = 31/3 Het maximum vind je bij t = 31/3 en R(31/3) = 637 ratten |
|
b. | R'(4) = 100 e(-0,1 64 + 0,5 16) (-0,316 + 4) = -396 ratten per dag | ||
c. | plot: Y1 = 100*e^(-0,1*X^3+0,5*X^2) Y2 = nDeriv(Y1, X, X) calc - maximum - Y2 geeft dan t = 2,41 |
||
28. | a. | 30 = 65 e-0,012k
Y1 = 30 en Y2 = 65 * e^(-0,012X) en dan intersect geeft maximaal 64 andere kinderen |
|
b. | hoeveelheid snoep = aantal
kinderen * aantal snoepjes per kind H = k S = k 65 e-0,012k H is maximaal als H' nul is: 1 65 e-0,015k + k 65 e-0,012k -0,012 = 0 e-0,012k (65 - 0,78k) = 0 65 - 0,78k = 0 k = 83, 33 k = 83 geeft H = 1992,7 k = 84 geeft H = 1992,6 Dus H = 1992,7 is de maximale hoeveelheid snoep (bij 83 kinderen) |
||
29. | f(x)
= x e-x f ' = 1 e-x + -1 x e-x = e-x(1 - x) f '' = -e-x(1 - x) + e-x -1 = e-x (-1 + x - 1) = (x - 2)e-x Dat is nul en heeft tekenwisseling als x = 2 x = 2 geeft helling f '(2) = e-2 (1 - 2) = -e-2 dus de raaklijn is y = -e-2 x + b x = 2 geeft raakpunt f(2) = 2e-2 2e-2 = -e-2 2 + b ή b = 4e-2 de raaklijn is de lijn y = -e-2x + 4e-2 |
||
30. | noem de constanten
even c en d , dan staat er y = c
e-d(x - m)² y' = -2d(x - μ)ce-d(x - μ)² y'' = -2d ce-d(x - μ)² + -2d(x - μ) -2d(x - μ) ce-d(x - μ)² = 0 ce-d(x - μ)² {-2d + 4d2 (x - μ)2} = 0 -2d + 4d2 (x - μ)2 = 0 (x - μ)2 = 2d/4d² = 1/2d d = 1/2σ2 geeft dan (x - μ)2 = σ2 x - μ = ± σ x = μ ± σ |
||
31. | f(x)
= (x2 - a)e2x
f ' = 2xe2x + (x2 - a)2e2x = e2x (2x + 2x2 - 2a) f '' = 2e2x(2 + 2x2 - 2a) + e2x(2 + 4x) = e2x {4 + 4x2 - 4a + 2 + 4x} Dat moet nul zijn voor x = 1: 4 + 4 - 4a + 2 + 4 = 0 4a = 14 a = 31/2 4 + 4x2 - 4 31/2 + 2 + 4x = 0 4x2 + 4x - 8 = 0 x2 + x - 2 = 0 (x - 1)(x + 2) = 0 x = 1 ∨ x = -2 het tweede buigpunt is (-2, 1/2e-4) |
||
32. | f(x)
= 2x e1 - x f ' = 2e1 - x + 2x -1 e1 - x = e1 - x (2 - 2x) f '' = -e1 - x (2 - 2x) + e1 - x -2 = e1 - x (-2 + 2x - 2) = e1 - x (2x - 4) = 0 dat geeft 2x - 4 = 0 ή x = 2 Het buigpunt bevindt zich bij x = 2 f '(2) = e1-2 (2 - 4) = -2e-1 dus de buigraaklijn is y = -2e-1x + b f(2) = 4 e-1 dus 4e-1 = -2e-1 2 + b ή b = 8e-1 de buigraaklijn is de lijn y = -2e-1x + 8e-1 |
||
33. | a. | f(x) =
x2
e -√2x f ' = 2xe-√2x + x2 -√2 e-√2x = e-√2x {2x - x2√2) f '' = -√2e-√2x (2x - x2√2) + e-√2x (2 - 2x√2) = 0 e-√2x
{-√2(2x - x2√2) + (2
- 2x√2)) = 0 |
|
b. | f '(x)
= 2xe-ax - ax2e-ax
f ''(x) = 2e-ax - 2axe-ax - 2axe-ax + a2x2e-ax f ''(x) = e-ax(a2x2 - 4ax + 2) Dat is nul als a2x2 - 4ax + 2 = 0 x = (4a ± Φ(16a² - 8a²))/(2a²) De afstand tussen die twee x-waarden is 2Φ(8a²)/(2a²) 2Φ(8a²)/(2a²) = Φ2 Φ(8a²)/(a²) = Φ2 Φ(8a²) = a2 Φ2 2aΦ2 = a2Φ2 2a = a2 a = 0 ∨ a = 2 Alleen a = 2 voldoet |
||
34. | x = 5 is
een verticale lijn en als die de grafiek loodrecht snijdt dan loopt de
grafiek in dat snijpunt horizontaal, dus is de helling nul. f(x) = (2x2 + px)e-x f ' = (4x + p)e-x + (2x2 + px)·-e-x = 0 x = 5 geeft dan e-5 (20 + p - 50 - 5p) = 0 20 + p - 50 - 5p = 0 -4p = 30 p = -71/2 |
||
35. | f = g
geeft e-0,5x = p√x f ' · g' = -1 geeft -0,5e-0,5x · p/2√x = -1 e-0,5x is gelijk aan p√x dus dat kun je in die tweede formule daardoor vervangen: -0,5 · p√x · p/2√x = -1 -0,25p2 = -1 p2 = 4 p = 2 |
||
36. | f ' = 2 e0,5x
dus f '(p) = 2 e0,5p
g ' = -0,5 e-0,5x dus g '(p) = -0,5 e-0,5p f ' g' = 2 e0,5p -0,5 e-0,5p = -1 dus dat is inderdaad loodrecht. |
||