© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. sinα = h/5 ⇒ h = 5sinα
cosα = x/5  ⇒ x = 5cosα

O = 4 • (0,5xh) + 2 • (8h) = 2xh + 16h
O = 2 • 5cosα • 5sinα + 16 • 5sinα
O = 50sinαcosα + 80sinα
       
  b. O ' = 0
50cosαcosα + 50sinα•-sinα + 80cosα = 0
50cos2α - 50sin2α + 80cosα = 0
50cos2α - 50(1 - cos2α) + 80cosα = 0
100cos2α + 80cosα - 50 = 0
10cos2α + 8cosα - 5 = 0
ABC-formule:  cosα = (-8 ±√(64 + 200))/20 = 0,4124 of -1,212  (maar die laatste kan niet)
cosα =  0,412
α = 65,6Ί
Dan is   O = 50sin(65,6)cos(65,6) + 80sin(65,6) = 91,7
       
2. a. sinα = h/1,5 ⇒  h = 1,5sinα
cosα = x/1,5 ⇒  x = 1,5cosα

O = 0,5 • xh + 2h
O = 0,5 • 1,5cosα • 1,5sinα + 2 • 1,5sinα
O = 1,125cosαsinα + 3sinα
       
  b. O ' = 0
1,125•-sinα•sinα + 1,125•cosα•cosα + 3cosα = 0
-1,125sin2α + 1,125cos2α + 3cosα = 0
-1,125(1 - cos2α) + 1,125cos2α + 3cosα = 0
-1,125 + 1,125cos2α + 1,125cos2α + 3cosα = 0
2,5cos2α + 3cosα - 1,125 = 0
ABC-formule:  cosα = (-3 ±√(9 + 11,25))/5 = 0,3  of  -1,5
cosα = 0,3
α = 1,266  (∨ α = 5,017)
O =  1,125cos1,266•sin1,266 + 3sin1,266 = 3,18 m2
       
3. a. Bij een vierkant is de figuur symmetrisch in lijn AQ, dus is ∠RAC = ∠BAP
Samen met ∠BAC vormen deze drie een rechte hoek.
Daarom is  ∠RAC = ∠BAP = 1/6π
       
  b. Teken de lijn van C loodrecht op AP. Dat geeft punt R. Dan geldt  sin(1/6π + x) = CR = QP
Verder in driehoek ABP:  AP = cosx
AP • QP = cosx • sin(1/6π + x)
omdat sinα = cos(1/2π - α) geldt sin(1/6π + x) = cos(1/2π -  (1/6π + x) ) = cos (1/3π - x)
Daarmee is de formule bewezen.
       
  c. O'(x) = -sinx • cos (1/3π - x) + cosx • -sin(1/3π - x) • -1
= cosx • sin(1/3π - x) - sinx • cos (1/3π - x)
= sin(1/3π - x - x) = sin(1/3π - 2x)

O'(x) = 0  ⇒  sin(1/3π - 2x) = 0 
⇒  1/3π - 2x = 0 (mod 2π)  ∨  1/3π - 2x = π  (mod 2π)
⇒  2x = 1/3π  (mod 2π)  ∨  2x = -2/3π  (mod 2π)
⇒  x =  1/6π  (mod π)  ∨  x = 2/3π (mod π)
x =  1/6π  geeft  O = 3/4
x = 2/3π valt af omdat 0 ≤ x ≤ 1/3π
x = 0 geeft  O = 1/2  en  x = 1/3π  geeft  O = 1/2
Conclusie:  O zit in het interval [1/2 , 3/4]
       
4. a. tanα = z/x ⇒  z = xtanα
x + y + z = L  ⇒   y = L - x - z  ⇒   y = L - x - xtanα

O = xy + 1/2zx
O = x(L - x - xtanα) + 1/2 • xtanα • x
O = xL - x2 - x2tanα + 1/2x2tanα
O = xL - x2 - 1/2x2tanα
       
  b. O ' = 0
L - 2x - xtanα = 0
L = 2x + xtanα
L = x(2 + tanα)
x = L/(2 + tanα)
       
5. a. Oppervlakte rechthoek is  x(x + y)
= cosx(cosx + sinx)
= cos2x + cosxsinx
= cos2x + 1/2 • 2sinxcosx
= cos2x + 1/2sin2x
       
  b. O ' = 0
2cosx • -sinx + 1/2 • cos2x • 2 = 0
-2cosxsinx + cos2x = 0
cos2x = 2cosxsinx
cos2x = sin2x
cos2x = cos(1/2π - 2x)
2x = 1/2π - 2x
4x = 1/2π + k2π   
x = 1/8π
O = cos21/8π + 1/2sin(1/4π) = 1,207
       
6. a. cosα = TQ/75 ⇒  TQ = 75cosα
sinα = PQ/75 ⇒  PQ = 75sinα

PQ2 + QM2 = 802
(75sinα)2 + QM2 = 6400
QM2 = 6400 - 752sin2α
QM = √(6400 - 5625sin2α)

TM = TQ + QM = 75cosα + √(6400 - 5625sin2α)
       
  b. De afname van TM is gelijk aan de helling.
Het gaat er dus om wanneer de helling maximaal (negatief) is.
PLOT in de GR:
Y1 = 75cos(X) + √(6400 - 5625(sin(X))^2)
Y2 = nDerive (Y1, X, X)
gebruik dan calc - minimum van Y2
Dat geeft X = α = 66,2Ί
       
7. a. De twee zijstukken hebben elk oppervlakte  cosα • 2sinα = sin2α dus samen 2sin2α
het middenstuk heeft oppervlakte 2 • 2sinα = 4sinα
Samen geeft dat de gezochte formule.
       
  b. met de kettingregel: 
dO/dα = 2cos2α • 2 + 4cosα
= 4cos2α + 4cosα
= 4(cos2α + cosα)

gebruik de formule voor cosa + cosb van de formulekaart met a = 2α en b = α
dat geeft  4 • (2cos1/2(2α + α) cos1/2(2α - α)) = 8cos11/2αcos1/2α
       
  c. dO/dα = 0 
⇒  cos11/2α = 0  ∨  cos1/2α = 0
⇒  11/2α = 1/2π  ∨  11/2α = 11/2π  ∨  1/2α = 1/2π  ∨  1/2α = 11/2π
⇒  α = 1/3π  ∨  α = π  ∨  α = π  ∨  α = 3π
Omdat 0 < α < 1/2π zal de oplossing moeten zijn α = 1/3π.
Een tekenbeeld van dO/dα is       (0)++++(1/3π)-----(1/2π)     dus O heeft inderdaad een maximum
O(1/3π) = 2 • sin (2/3π) + 4sin(1/3π) = 2 • 1/2√3 + 4 • 1/2√3 = 3√3
       
8. a. Bij hoek t hoort een cirkelsector die t/2π ste deel van de hele cirkel is,
dus heeft zo'n cirkelsector oppervlakte  t/2π • πr2 = t/2π • π • 42 = 8t

Een driehoek heeft rechthoekszijden  4sint en 4cost  (sos cas toa) dus oppervlakte 0,5 • 4sint • 4cost

zes driehoeken en twee cirkelsectoren:
6 • 0,5 •  4sint • 4cost  + 2 • 8t  = 48sintcost + 16t = 24 • 2sintcost + 16t = 24sin2t + 16t
       
  b. Als de hoogte 4 is, dan is de halve hoogte 2,  dus is sint = 2/4
Dat geeft t = 1/6π
invullen in de oppervlakteformule:  O = 22/3p + 12√3
       
  c. O is maximaal als O' = 0
O' = 16 + 24cos(2t) • 2 = 0
⇒  48cos(2t) = -16
⇒  cos(2t) = -1/3
Omdat de exacte waarde wordt gevraagd mogen we niet gaan afronden!!!!

De hoogte is gelijk aan  8sint
De vraag is dus:  hoe groot is 8sint als je weet dat cos2t = -1/3???
formulekaart:  cos2t = 1 - 2sin2t
-1/3 = 1 - 2sin2t
⇒  2sin2t = 11/3
⇒  sin2 t = 2/3
⇒  sint = √(2/3)

De hoogte is dus  8√(2/3)