© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. ln4x = 2
4x = e2
x = 1/4e2
       
  b. ln(x + 6) = 2lnx
ln(x + 6) = lnx2
x + 6 = x2
x2 - x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 ∨ x = -2
x = -2 valt af, want daarvoor bestaat lnx niet. Dus blijft over x = 3
       
  c. ln(Φx) = lnx + 2
lnx0,5 - lnx = 2
0,5lnx - lnx = 2
-0,5lnx = 2
lnx = -4
x = e-4
       
  d. 3lnx = lnx + 2
3lnx - lnx = 2
2lnx = 2
lnx = 1
x = e
       
  e. 2 • ex = 6
ex = 3
x = ln3
       
  f. elnx = 3x - 8
x = 3x - 8
8 = 2x
x = 4
       
  g. 2 + lne2 = lnx
2 + 2 = lnx
4 = lnx
x = e4
       
  h. lnx + ln2x = ln(x + 1)
ln(x • 2x) = ln(x + 1)
2x2 = x + 1
2x2 - x - 1 = 0
ABC formule geeft dan x =  (1 ±√(1+8))/4
x = 1 ∨  x = -0,5
x = -0,5 valt af, want daarvoor bestaat ln2x niet. Dus blijft over x = 1
       
  i. ex - 1 = 4
x - 1 = ln4
x = 1 + ln4
       
  j. ln(e/x) = 3 + lnx
ln(ex-1) = 3 + lnx
-lnx + lne = 3 + lnx
-2lnx = 2
lnx = -1
x = 1/e
       
  k. ln(e2x + 1) = x - 5
e2x + 1 = ex - 5
2x + 1 = x - 5
x = -6
       
  l. e2x + 2 = 3ex 
(ex)2 + 2 = 3ex
(ex)2 - 3ex + 2 = 0
(ex - 2)(ex - 1) = 0
ex = 2  ∨   ex = 1
x = ln2  ∨  x = ln1 = 0  
       
2. ln2x = p  geeft  2x = ep  dus  xA = 1/2ep
lnx = p  geeft  xB = ep 
AB = xB - xA = ep - 1/2ep = 1/2ep

xB = ep  geeft  yC = ln(2ep) = ln2 + lnep = ln2 + p
BC = yC - yB = ln2 + p - p = ln2

De oppervlakte is dan  0,5 • AB • BC = 1/4ep • ln2
4ln2 = 1/4ep • ln2
16 = ep
p = ln16
       
3. a. f(x) = e2x
f '(x) = 2e2x 
f '(-1) = 2e-2   dus de raaklijn is  y = 2e-2 • x + b

f(-1) = e-2
vul dat in inde raaklijn:   e-2 = 2e-2• -1 + b
e-2 = -2e-2 + b
b = 3e-2
De raaklijn is  y = 2e-2 • x + 3e-2
       
  b. e2x = p
2x = lnp
x = 1/2lnp = ln(√p)

1 - e-x = p
1 - p = e-x
ln(1 - p) = -x
x = -ln(1 - p)

AB = xB - xA =  -ln(1 - p) - ln(√p)
AB = -(ln(1 - p) + ln(√p))
AB = -ln((1 - p)•√p)
AB = -ln(√p - p√p)
       
4. neem de logaritme ervan:
 
  Daaruit volgt  a1/lna = e  en dat is constant.
       
5. a. x = 0  geeft  D = a  en we kunnen aflezen dat dus moet gelden  a = 25000
Het tweede punt invullen:  10000 = 25000•e-4b 
e-4b = 0,4
-4b = ln(0,4) = -0,9162....
Daaruit volgt  b = -0,9162.../-4 = 0,22907...  ofwel  b = 0,23
       
  b. ln(D) = 10 - 0,2x dus  D = e10 - 0,2x  = e10 • e-0,2x = 22026,46... • e-0,2x
en 22026,46... is bij benadering 22000 
       
6. a. Voor de top geldt  f '(x) = 0.
Met de quotiλntregel:
f '(x) = (8 • ex - 8x • ex)/(ex)2
Een breuk is nul als de teller nul is:  8ex - 8x • ex = 0
⇒ 8ex (1 - x) = 0
⇒ x = 1
     
  b. Snijden:  8x/ex = 8nx/enx 
Kruislings vermenigvuldigen:  enx • 8x = ex • 8nx
enx • 8x - ex • 8nx = 0
8x(enx - nex) = 0
enx = nex
enx/ex = n
e(n - 1)x = n
(n - 1)x = lnn
x = 1/(n - 1) • lnn
       
7. a. 100 = 200 - 180 • e-0,29t 
⇒  -100 = -180 • e-0,29t   
⇒  e-0,29t = 100/180 
⇒  -0,29t = ln(100/180) » -0,588
⇒  t = -0,588/-0,29 ≈ 2,0268 uren en dat is  2,0268 • 60 = 121,6 minuten
Dus ongeveer 2 minuten over 5  (17:02) wordt het opwarmen gestopt.
       
  b. S'(t) = -180 • e-0,29t • -0,29 = 52,2 • e-0,29t
S'(1) = 39,059 ΊC/uur en dat is 0,65 ΊC/minuut dus ongeveer 0,7 ΊC/minuut.
       
  c. S - 200 = -180 • e-0,29t  ⇒  (S - 200)/-180 = e-0,29t
       
8. vermenigvuldigen tov de x-as met factor e betekent de hele formule met e vermenigvuldigen.
Dat geeft  y =  e • (1 + lnx)/x  
vermenigvuldigen tov de y-as  met factor 1/e betekent elke x vervangen door ex
Dat geeft  y = e • (1 + ln(ex))/(ex)   = (1 + lnex)/x 
Dat moet gelijk zijn aan  g(x) dus moet gelden   c + lnx = 1 + ln(ex)
c + lnx = 1 + lne + lnx
c = 1 + lne = 1 + 1 = 2   
       
9. a. f '(x) = e -2x • -2  dus  f '(0) = e-2 • 0 • -2 = -2
f (0) = e-2 • 0 = 1
De raaklijn is dus de lijn  y = -2x + 1
-2x + 1 = 0  ⇒  x = 1/2 
       
  b. Het functievoorschrift van de verschoven grafiek is  y = e-2x - a
Snijpunt y-as:  e-2 • 0 - a = 1 - a
Snijpunt x-as:  e-2x - a = 0 
⇒  e-2x = a 
⇒  -2x = lna 
⇒  x = -1/2lna
De snijpunten liggen even ver van O als  1 - a = -1/2lna
Y1 = 1 - X en  Y2 = -1/2lnX en dan intersect levert  a ≈ 0,203