|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||||||
 |
||||||||
| 1. | Hele vierkant: 8
·8 = 64 E: 0,5 ·1 · 8 = 4 A: 0,5 ·7 · 2 = 7 B: 0,5 · 2 ·5 = 5 C: 2 D: 0,5 · 1 · 6 = 3 Het groene deel is dan 64 - 4 - 7 - 5 - 2 - 3 = 43 Daar moet het witte gat nog van af Hele rechthoek daaromheen: 5 · 4 = 20 I: 0,5 · 2 · 3 = 3 H: 0.5 · 1 · 6 = 3 G: 0,5 F: 2 J: 2 het gat is dus 20 - 3 - 3 - 0,5 - 2 - 2 = 9,5 Het groene deel is dan 43 - 9,5 = 33,5 |
|
||||||
| 2. | Trek lijnstukken
vanaf alle hoekpunten naar het midden. Een hoek in het midden is 40º tan 20º = 2/h geeft h = 5,49 voor de hoogte van een driehoek de oppervlakte van zo'n driehoek is dan 0,5 • 4 • 5,49 = 10,99 de hele negenhoek heeft dan oppervlakte 9 • 10,99 = 98,91 |
|||||||
| 3. | Zie de tekening
hiernaast. BS = SQ = 3,5 sinα = 3,5/6 ⇒ α = 35,69º sinβ = 3,5/4 ⇒ β = 61,04º SN = 6cosα = 4,87 SM = 4cosβ = 1,94 |
|
||||||
| MN = 4,87 +1,94 = 6,81 De oppervlakte van driehoek MNP is 1/2 • 6,81 • 3,5 = 11,92 De cirkelsector vanaf N met hoek α heeft oppervlakte 35,69/360• π • 62 = 11,21 De cirkelsector vanaf M met hoek β heeft oppervlakte 61,04/360 • π • 42 = 8,52 |
||||||||
| 4. | De driehoek heeft
hoeken van 30º en 60º en 90º Het bovenste cirkeldeel heeft oppervlakte 30/360 • π • 32 = 3/4π Het onderste cirkeldeel heeft oppervlakte 60/360 • π • 32 = 11/2π Als de rechtopstaande zijde lengte x heeft, dan geldt tan60º = x/4 x = 4 • tan60º = 4√3 De oppervlakte van de driehoek is dan 1/2 • 4 • 4√3 = 8√3 Het gekleurde deel heeft oppervlakte 8√3 - 21/4π |
|
||||||
| 5. | Driehoek MNP heeft zijden 4 en 7 en 8. De cosinusregel geeft: 42 = 72 + 82 - 2 • 7 • 8 • cosα ⇒ α ≈ 29,99º Dan heeft het cirkeldeel met hoek α een oppervlakte van 29,99/360 • π • 72 ≈ 12,83 Verder is QN = 7 cosα ≈ 6,06 en PQ = 7 • sinα ≈ 3,50 Dus driehoek PQN heeft oppervlakte 0,5 • 6,06 • 3,50 ≈ 10,61 Voor het groene cirkeldeel blijft dan over 12,83 - 10,61 = 2,22 |
|
||||||
| Op dezelfde manier vind je voor
het rode cirkeldeel een oppervlakte van ongeveer 5,13. Het totale overlappende deel van beide cirkels heeft dan oppervlakte: 2 • (5,13 + 2,22) ≈ 14,70 |
||||||||
| 6. | Zie de figuur
hiernaast. Daar staan allemaal 1-1-√2
driehoeken. In de linkerfiguur is de oppervlakte van het vierkant x2 en de oppervlakte van de driehoek 1/2 • 2x • 2x = 2x2 Het vierkant is de helft van de driehoek. In de rechterfiguur is de oppervlakte van het vierkant y2 en de oppervlakte van de driehoek 1/2 • (y√2 + y/√2)2 y/√2 = 1/2y√2, dus dat geeft voor de oppervlakte: 1/2 • (11/2y√2)2 = 1/2 • 21/4y2 • 2 = 21/4y2 Het vierkant is 1/2,25 = 4/9 deel van de driehoek. |
|
||||||
| 7. | De blauwe hoek is 30º Als het blauwe hoogtelijntje lengte h heeft, dan geldt: tan30º = h/2,5 h = 2,5 • tan30º = 2,5 • 1/3√3 De oppervlakte van de witte driehoek bovenaan is dan 1/2 • 5 • 21/2 • 1/3√3 = 25/12√3 De hele zeshoek bestaat uit 6 gelijkzijdige driehoeken met zijden 5 (zie de rode lijnen) Zo'n driehoek heeft hoogte H: H2 = 52 - 2,52 H = √18,75 De oppervlakte is dan 6 • 1/2 • 5 • √18,75 = 15√18,75 |
|
||||||
| Voor de ster blijft dan over: 15√18,75 - 6 • 25/12√3 = 43,30 | ||||||||
| Zie de figuur hiernaast. de ruit ABCD is 1/3 deel van de zeshoek. de driehoek ACD is de helft van de ruit, dus 1/6 deel van de zeshoek. De driehoekjes a, b. en c zijn even groot (zelfde basis en zelfde hoogte) dus elk is 1/18 deel van de zeshoek. Van de hele zeshoek gaan zes driehoekjes van 1/18 af, dus blijft over 1 - 6/18 = 1 - 1/3 = 2/3 deel. |
|
|||||||
| 8. | Stel FH = FG = x Driehoeken BHF en BAE zijn gelijkvormig. |
|
||||||
|
||||||||
| Daaruit volgt
BH = 4 • x/6 Maar ook is BH = 4 - x (AB - GF) 2/3x = 4 - x 12/3x = 4 x = 2,4 |
||||||||
| Oppervlakte CBE =
1/2
• 2 • 6 = 6 Oppervlakte CBF = 1/2 • 2 • 2,4 = 2,4 Oppervlakte CFE = 6 - 2,4 = 3,6 |
||||||||
| 9. | Teken in de driehoek ABC alle
drie de hoogtelijnen. Je ziet dat het groene deel 1/3 van de driehoek is. Maar die driehoek is 1/6 van de zeshoek. Het groene deel is dus 1/3 • 1/6 = 1/18 van de zeshoek. Dat is 55/9% |
|
||||||
| 10 | MC2 = 82
- 42 = 48 dus MC = 4√3
omdat ∠MAD = 60º en MA = MD zijn de driehoeken MAD en MEB ook gelijkzijdig. Oppervlakte MDCE is 1/2 • DE • 1/2MC • 2 = 4 • 2√3 = 8√3 Oppervlakte cirkeldeel MDE is 60/360 • π • 42 = 22/3π Het gekleurde deel heeft dan oppervlakte 8√3 - 22/3π |
|
||||||
| 11. | Het gele deel is wat je krijgt
als twee kwartcirkels elkaar overlappen in een vierkant (zijde 1). Het
gele deel is hoeveel die beide kwartcirkels samen meer zijn dan het
vierkant. De cirkels hebben oppervlakte 0,5πr2 = 0,5π Het vierkant heeft oppervlakte 1 Het gele deel heeft dus oppervlakte 0,5π - 1 De totale gele oppervlakte is dan vierkant - 8 halve cirkels + 8 gele citroenen (want die zijn er elk tweemaal afgehaald) = 16 - 8 • 0,5π • 12 + 8(0,5π - 1) = 16 - 4π + 4π - 8 = 8 |
|
||||||
| 12. | MN = NP = MP = r Dus de hoeken van MNP zijn 60° cirkelsegment MNP heeft oppervlakte 60/360 ·pr2 = 1/6pr2 Voor de hoogte h van driehoek MNP geldt: h2 = r2 - (1/2r)2 = 3/4r2 dus h = r · √(3/4) De oppervlakte van driehoek MNP is dan 0,5 · r · r · √(3/4) = 0,25r2 √3 De bovenste helft van het
overlappende deel van de cirkels heeft oppervlakte van twee
cirkelsegmenten min de driehoek |
|
||||||
