© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     
1. a. evenwijdig x-as;
y ' = -sint + cost = 0
sint = cost
t
= 1/4π  ∨  t = 11/4π
Dat geeft de punten  (0, 2) en (0, -√2)   (A en B hiernaast)

evenwijdig y-as;
x' = -2sin2t = 0
sin2t = 0
2t = 0 + k2π ∨ 2t = π + k2π
t =
0 + kπ  ∨  t = 1/2π + kπ
t
= 0,  1/2ππ,  11/2π
Dat geeft de punten  (1, 1) en (-1, 1)  en  (1, -1) en (-1, -1) 
(C, D, E, F hiernaast).

       
  b. evenwijdig x-as;
y ' = -sint + 3cost = 0
sint = 3cost
tant = 3
t = 1/3π   t = 11/3π
Dat geeft de punten  (-1, 2)  en  (1, -2)   (A en B hiernaast).

evenwijdig y-as;
x' = -sint - 3cost = 0
sint = -3cost
tant = -3
t = 2/3π   t = 12/3π
Dat geeft de punten  (-2, 1)  en  (2, -1)   (C en D hiernaast).

       
  c. evenwijdig x-as;
y ' = 2t - 4 = 0
t = 2
Dat is het punt  (0, -1)   (A hiernaast)

evenwijdig y-as;
x' = 2 - 2t = 0
t = 1
Dat is het punt  (1, 0)    (B hiernaast) 

       
  d. evenwijdig x-as;
y' = 2cos(2t) = 0
cos2t = 0
t = 1/4π, 3/4π, 11/4π, 13/4π
Dat zijn de punten: (-31/22, 1) ( -31/22, -1)  (31/22, 1)  (31/22, -1)
De punten G, H, I, J hiernaast.

evenwijdig y-as;

x ' = 12sin2tcost - 9cost = 0
cost(12sin2t - 9) = 0
cost = 0 ∨ sin2t  = 3/4
cost = 0 ∨  sint = 1/23 ∨ sint = -1/23
t =
1/3π1/2π2/3π,  11/3π,  11/2π,  12/3π
Dat zijn de punten;
(-33, 1/23)  (-5,0)  (-33, -1/23)  (33, 1/23)  (5, 0)  (33, -1/23)
(A, B, C, D, E, F hiernaast)

       
2. a. x ' = 0
1 - cost = 0
cost = 1
t = 0, 2π, 4π, ....
dat zijn de punten  (0, 1) (2π, 1) (4π, 1) ...
       
  b. y'  =  0
-cost = 0
t = 1/2π, 11/2π, 21/2π, ....
dat zijn de punten  (1/2π - 1, 0)  (11/2π + 1, 2) (21/2π - 1, 0)  (31/2π + 1, 2), ....
de toppen zijn  (11/2π + 1,  2)  (31/2π + 1,  2)  (51/2π + 1, 2) ....
die liggen  2π uit elkaar.
       
3. Raaklijn verticaal:  x' = 0
-3sint + 3sin3t = 0
sint = sin3t
t
= 3t + k2π  ∨  t = π - 3t + k2π
tkπ  ∨  t =  1/4π + k 1/2π
Dat geeft de oplossingen   0, π, 2π,  1/4π,  3/4π,  5/4π 7/4π
De laatste vier zijn de zijkanten van de figuur.  Dan is  x = 3cos( 1/4π) - cos( 3/4π) = 3 · 1/2√2 - -  1/2√2 =  2√2
De breedte van de rechthoek is dan  4√2

Raaklijn horizontaal:  y' = 0
3cost - 3cos3t = 0
cost  = cos3t
t
= 3t + k2π  ∨   t = -3t + k2π
t = k
π  ∨   t = k 1/2π
Dat geeft de oplossingen  0, π, 2π,  1/2π,  3/2π
De laatste twee zijn de boven en onderkant van de figuur. Dan is  y = 3sin( 1/2π) - sin(3· 1/2π) = 3 - - 1 = 4
De hoogte van de rechthoek is  8

De oppervlakte van de rechthoek is  32√2
       
4. evenwijdig x-as;
y' = -2sint (1 - cost) + 2cost • sint = 0
sint • (-2 + 4cost) = 0
sint = 0  ∨  cost = 1/2
t = 0,  π 1/3π,  12/3π
Dat geeft de punten  (0, 0)  (0, -4) (1/23, 1/2) ( -1/23, 1/2)

evenwijdig y-as;
x'  = 2cost (1 - cost) + 2sint • sint
2cost - 2cos2t +  2sin2t = 0
2cost - 2cos2t + 2(1 - cos2t) = 0
2cost - 2cos2t  + 2 - 2cos2t = 0
2cos2t - cost - 1 = 0
cost = (1 ±√(1 + 8))/4 = 1  of  -1/2
t = 0,  2/3π,  11/3π
Dat geeft de punten  (0,0)  (11/23, -11/2)  (-11/23, -11/2)
       
5. evenwijdig x-as;   y ' = 0
 
  6t - 3t4 = 0
3t(2 - t3) = 0
t = 0 ∨  t = 21/3 
dat geeft de punten  (0, 0) en  (21/3 ,  22/3)

evenwijdig y-as;  x ' = 0
 
  Voor t naar oneindig groot (positief en negatief) nadert de kromme naar (0,0) met helling evenwijdig aan de y-as.
(0,0) zelf wordt voor geen enkele t bereikt, daarom vind je die helling evenwijdig aan de y-as niet.
       
6. a. Als de y-coφrdinaat maximaal is, is de afgeleide ervan nul.
y ' = 2cost - 2cos(2t) = 0
2cost = 2cos(2t)
cost = cos(2t)
t = 2t + k • 2π  ∨  t = -2t + k • 2π
t = k •
2π  ∨  3t = k • 2π
t = k • 2π   t = k • 2/3π
De maximale y  wordt bereikt voor t = 2/3π
en die  is gelijk aan  2sin(2/3π) - sin(4/3π) = 2 • 1/2√3 -1/2√3 = 11/2√3
       
  b. x = 1 geeft  2cost - cos(2t) = 1
2cost - (2cos2t  - 1) = 1
2cos2t - 2cost = 0
2cost • (cost - 1) = 0
cost = 0  ∨ cost = 1
t = 0  ∨  t = 1/2π   ∨   t = 1 1/2π  ∨  t = 2π
 t = 1/2π   en   t = 1 1/2π  zijn de gezochte twee punten
dan is  y = 2sin(1/2π) - sinπ  = 2  of  y = 2sin(11/2π) - sin = -2
Dat betekent dus dat  a = 2