© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. functies gelijk:   x2 - 9x + p  =  -2x2 - px
afgeleides gelijk:  2x - 9 = -4x - p
de tweede geeft  p = -6x + 9  en dat kun je invullen in de eerste:
x2 - 9x - 6x + 9  =  -2x2 - (-6x + 9)x
x2 - 15x + 9 = -2x2 + 6x2 - 9x
0 = 3x2 + 6x - 9
x2 + 2x - 3 = 0
(x - 1)(x + 3) = 0
x = 1 ∨  x = -3
Dat geeft met  p = -6x + 9 dus  p = 3  of  p = 27
       
  b. functies gelijk:  x3 - 2x2 + p = x2 + 9x + 1
afgeleides gelijk:  3x2 - 4x = 2x + 9
3x2 - 6x - 9 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3  ∨  x = -1

x = 3 geeft  33 - 2 • 32 + p = 32 + 9 • 3 + 1
9 + p = 37
p = 28

x = -1  geeft  (-1)3 - 2 • (-1)2 + p = (-1)2 + 9 • -1 + 1
-3 + p = - 7
p = -4
       
  c. functies gelijk:   x2 + px + 2 = -25 - 2x2
afgeleides gelijk:  2x + p = -4x
De tweede geeft  p = -6x
invullen in de eerste:  x2 - 6x2 + 2 = -25 - 2x2
-3x2 = -27
x2 = 9
x = 3 ∨ x = -3
x = 3 geeft p = -18
x = -3 geeft p = 18
       
2. De functies raken elkaar als  f ' =  g '
2x = 0,5 • 3 • x-0,5  
⇒  x1,5 = 0,75 
⇒  x = 0,752/3  ≈ 0,83
 
f(0,83) = 0,6814  en g(0,83) = 2,7256  dus de grafiek van f moet 2,04 omhooggeschoven worden.
       
3. f(x) = x2 - 4x√x + 4x
f ' = 2x - 1,5 • 4 •  x0,5 + 4
f '(0) = 4
lijn k heeft dus helling 4, en is de lijn y = 4x
waar heeft de grafiek van f nog meer helling 4?
2x - 1,5 • 4 •  x0,5 + 4 = 4
2x - 6√x = 0
2√x(√x - 3) = 0
√x = 0  ∨  √x = 3
x = 0  ∨  x = 3
x = 3 geeft  y = 32 - 4 • 3√3 + 4 • 3 = 21 - 12√3

waar heeft  k die y-coφrdinaat?
y = 21 - 12√3 = 4x
x = 5,25 - 3√3
de grafiek van  f  moet dus van x = 3 naar  x = 5,25 - 3√3 geschoven worden.
dat is  3 - (5,25 - 3√3) = 3√3 - 2,25  naar links.
       
4. a. Φx = Φ(8 - 2x)
x = 8 - x geeft   x = 4

y ' = 1/(2Φx) = 1/(2Φ4) = 0,25  geeft  hoek met de x-as  tan-1(0,25) = 14°
y  ' = 1/2x = 1/2 · 4 = 2  geeft hoek met de x-as  tan-1(2) = 63°
De hoek tussen de grafieken is dan  49°
       
  b. 2/x  =  1/4x2
x3 = 8  geeft  x = 2
y '= -2/(x²) = -2/4 = -0,5  geeft hoek met de x-as  tan-1(0,5) = 27°
y '= 1/2x = 1  geeft hoek met de x-as 45°

De hoek tussen de grafieken is dan  18°
       
5. y ' = 4x  dus  y '(3) = 12
tan-1(12) = 85,2°
De raaklijn aan de parabol snijdt de x-as onder een hoek van 85,2

Er zijn twee  mogelijkheden (zie de figuur)

Mogelijkheid 1.
lijn l snijdt de x-as onder een hoek van -59,8°
tan(-59,8) = -1,72
l heeft r.c. -1,72 en gaat door  (3, 18)
18 = -1,72 · 3 + b   geeft  b = 21,44
-1,72x + 21,44 = 0   geeft dan  x = 12,5
Het snijpunt van l met de x-as is  (12.5, 0)

Mogelijkheid 2.
lijn l snijdt de x-as onder een hoek van 50,2°
tan(50,2) = 1,20
l heeft r.c. 1,20 en gaat door  (3, 18)
18 = 1,20 ·3 + b   geeft  b = 14,4
1,2x + 14,4 = 0   geeft dan  x = -12
Het snijpunt van l met de x-as is  (-12, 0)
       
       
6. Als twee grafieken elkaar raken in punt R, dan moeten ze beiden door R gaan, en dan moeten ze in R dezelfde helling hebben.

x = n + 9 geeft  y = n + 6√(n + 9 - n) = n + 6 • √9 = n + 6 • 3 = n + 18  = x + 9
Dus het punt  (n + 9, n + 18) ligt inderdaad op beide grafieken.

De helling van  y = x + 9 is gelijk aan 1.

De helling van y = n + 6√(x - n)  is de afgeleide:  y' = 6 • 0,5 • (x - n)-0,5
x = n + 9 geeft dan   y' = 6 • 0,5 • (n + 9 - n)-0,5 = 3 • 9-0,5 = 3 • 1/3 = 1

De grafieken hebben in het punt (n + 9, n + 18) beiden helling 1, dus raken ze elkaar daar.
       
7. f ' = -2pcosx • -sinx = 2psinxcosx
g ' = cosx
f ' = g' geeft dan    2psinxcosx = cosx
cosx(2psinx  - 1) = 0
cosx = 0  ∨  sinx = 1/2p

Als cosx = 0 dan is sinx = 1  en dan is f(x) = 3 en g(x) = 1  dus dat geen oplossing.

Als sinx = 1/2p  dan is  sin2x = 1/4p²  dus is  cos2x = 1 - 1/4p²
Dan is  f(x) = 3 - p • (1 - 1/4p²)  en g(x) = 1/2p
Dat moet gelijk zijn:

3 - p + 1/4p = 1/2p   vermenigvuldig met 4p:
12p - 4p2 + 1 = 2
4p2 - 12p + 1 = 0
p = (12 ± √128)/8 = 2,91  ∨ 0,086
       
8. functies gelijk:  1/3x = (x - a)1/3
afgeleides gelijk:   1/3 = 1/3(x - a)-2/3 
de eerste geeft  x - a = (1/3x)3 
dan geeft de tweede   1/3 = 1/3((1/3x)3)-2/3 
1/3 = 1/3 (1/3x)-2
1 = 9x-2 
x2 = 9
x = 3 ∨  x = -3

x = 3 geeft  3 - a = (1/3 • 3)3 ⇒   3 - a = 1 ⇒   a = 2   en het punt  (3, 1)
x = -3 geeft  -3 - a = (1/3 • -3)3 ⇒  -3 - a = -1 ⇒  a = -2  en het punt  (-3, -1)  
       
9. ax2 = x
x = 0  ∨  x = 1/a

Dan is  y '= 2ax = 2a · 1/a = 2  en de lijn met r.c. 2 maakt een hoek van  tan-1(2) =   °
De lijn y = x  heeft r.c. 1 dus maakt een hoek van 45°met de x-as
De hoek tussen beide grafieken is dan  180 - 45 -