© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. P(3, 12)  en   l:  2x + y = 6
l:  y = 6 - 2x
lijn loodrecht op l heeft r.c. = 0,5
y = 0,5x + b moet door  (3, 12) gaan
Dan is  12 = 1,5 + b  dus  b = 10,5
de loodrechte lijn is de lijn   y = 0,5x + 10,5
snijden met l:   0,5x + 10,5 = 6 - 2x
2,5x = -4,5
x = -1,8
Het snijpunt is  (-1.8, 9.6)
De afstand is  √(4,82 + 2,42) = √28,8
       
  b. Q(-3, -1))  tot lijn  m:  2y + 6 = 3x
m:  y = 1,5x - 3
lijn loodrecht op m heeft r.c. = -2/3
y = -2/3x + b moet door  (-3,-1) gaan
Dan is  -1 = -2/3 × -3 + b  dus  b = -3
de loodrechte lijn is de lijn   y = -2/3x - 3
snijden met l:   -2/3x - 3  = 1,5x  - 3
13/6x = 0
x = 0
Het snijpunt is  (0, -3)
De afstand is  √(32 + 22) = √13
       
  c. R(-5, -2) tot lijn  n:   3x + y = -7
n:  y = -3x - 7
lijn loodrecht op n heeft r.c. = 1/3
y = 1/3x + b moet door  (-5,-2) gaan
Dan is  -2 = 1/3 × -5 + b  dus  b = -1/3
de loodrechte lijn is de lijn   y = 1/3x - 1/3
snijden met l:   1/3x - 1/3  = -3x  - 7
10/3x = -20/3
x = -2
Het snijpunt is  (-2, -1)
De afstand is  √(32 + 12) = √10
       
2.  y = 2x + 4
Kies een willekeurig punt van deze lijn, bijvoorbeeld P = (0, 4)
De lijn door P loodrecht op y = 2x + 12  heeft r.c. -0,5
Het is dus de lijn  y = -0,5x + 4
Snijden:
-0,5x + 4 = 2x + 12
2,5x = -8
x = 3,2  en dan is  y = 2,4
De afstand is dan  √(3,22 + 1,62) = √12,8
       
3. a. A(0, 6) en B(2, 2) en   C(3, 8)
AB heeft  r.c. -2  dus is de lijn  y = -2x + 6
Lijn door C loodrecht op AB heeft r.c. 0,5
8 = 0,5 × 3 + b geeft  b = 6,5
de lijn  y = 0,5x + 6,5 snijden met AB:    0,5x + 6,5 = -2x + 6
2,5x = -0,5
x = -0,2
Het snijpunt is dan  (-0.2,  6.4)
De afstand van C tot AB is  √(3.22 + 1.62) = √12,8

De lengte van AB is  √(22 + 42) = √20
De oppervlakte van de driehoek is dan   0,5 × √12,8 × √20 = 8
       
  b. Zie de figuur hiernaast.

De hele rechthoek heeft oppervlakte 18

Driehoek I heeft oppervlakte 3
Driehoek II heeft oppervlakte  4
Driehoek III heeft oppervlakte 3

De gezochte oppervlakte is dan 18 - 3 - 3 - 4 = 8

4. a.  l:  2x + y = 6  geeft  y = 6 - 2x
Punt S is weer te geven door  (s, 6 - 2s)
P =  (3, 12)
De afstand is dan  √((s - 3)2 + (6 - 2s - 12)2 )
√((s - 3)2 + (-6 - 2s)2 )
= √(s2 - 6s + 9  + 36 + 24s + 4s2)
= √(5s2 + 18s + 45)
       
  b. PS = √((3 - s)2 + (6 + 2s)2)
PS = √(9 - 6s + s2 + 36 + 24s + 4s2)
PS = √(5s2 + 18s + 45)

De afgeleide is  (met de kettingregel):   PS '= 1/2√(......) × (10s + 18)
Dat is nul als 10s + 18 = 0
s = -1,8
PS = √((3 + 1,8)2 + (6 - 2 × 1,8)2)
PS =  √(23,04 + 5,76)
PS = √28,8
       
5. a. 1/2x3 - 4x = 0
x(1/2x2 - 4) = 0
x = 0  ∨  1/2x2 - 4 = 0
x = 0  ∨  x2 = 8
x = 0  ∨  x = √8  ∨  x = -√8
De afstand MN  is  dan  2√8
       
  b. f '(x) = 1,5x2 - 4  dus  f '(-2) = 2
lijn k gaat door (-2, 4) en heeft helling 2
4 = 2 • -2 + b  geeft  b = 8 dus k is de lijn  y = 2x + 8

leg een lijn door O  loodrecht op k.
Die heeft helling  -0,5, dus het is de lijn  y = -0,5x

Snijden met k:   -0,5x = 2x + 8
2,5x = -8
x = -16/5
Dan is  y = -0,5 • -16/5 = 8/5  dus het snijpunt is  S = (-16/5,8/5)

OS is dan √((16/5)2 + (8/5)2) = √(320/25) en dat is de afstand van O tot k

De afstand tussen de lijnen is dan 2 • √(320/25) ≈ 7,16