© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. evenwichtslijn y = -2
amplitude 3
periode is 2/3π dus in de formule staat 2π/2/3π = 3

sinus: beginpunt bijv. x = 1/3π en dat geeft  y = -2 + 3sin3(x - 1/3π)
cosinus: beginpunt bijv. x = -1/6π en dat geeft  y = -2 + 3cos3(x + 1/6π)
     
  b. evenwichtslijn y = 4
amplitude 1
periode is 2π

sinus: beginpunt bijv. x = 3/4π  en dat geeft  y = 4 + sin(x - 3/4π)
cosinus:  beginpunt bijv. x = 11/4π  en dat geeft  y = 4 + cos(x - 11/4π)
       
  c. evenwichtslijn y = 21/2
amplitude  71/2
periode is  2π

sinus:  beginpunt bijv.  x = 0 en dat geeft  y = 21/2 + 71/2sinx
cosinus:  beginpunt bijv. x = 1/2π en dat geeft  y  = 21/2 + 71/2cos(x - 1/2π)
       
  d. evenwichtslijn y = 0
amplitude 3
periode is 10 (halve periode tussen x = -2 en x = 3) dus in de formule staat 2π/10 = π/5

sinus:  beginpunt bijv. x = 3 en dat geeft  y = 2sin π/5(x - 3)
cosinus:  beginpunt bijv. x = -41/2 en dat geeft  y = 2cos π/5(x + 41/2)
       
2. de gemiddelde hoogte van de toppen is (-2 + 4)/2 = 1 dus de evenwichtslijn is y = 1
de amplitude is dan 3
de horizontale afstand tussen de toppen is 3.
als dat een halve periode is, dan is de periode 6 en staat er in de formule 2π/6 = 1/3π
als dat (bijv.) 1,5 periode is, dan is de periode 4 en staat er in de formule 2π/4  = 1/2π
het beginpunt zit een kwart periode voorbij het minimum (x = 5) en is dus  6,5 of  6 (afhankelijk van de mogelijkheden hierboven)
Dat geeft  y = 1 + 3sin1/3π(x - 6,5)    of   y = 1 + 3sin1/2π(x - 6)
       
3. Plot de grafiek van Y1 = 3 - 2·sinx + 5·cosx - 1
Zie de figuur hiernaast.
calc - maximum en calc-minimum geeft de punten
(2.76, -3.39) en (5.90, 7.39)

de evenwichtslijn is dan  (-3,39 + 7,39)/2 = 2
de amplitude is  7,39 - 2 = 5,39
de halve periode is 5,90 - 2,76 = 3,14 dus de hele periode is 6,28 (zal wel 2π zijn want dat is ook de periode van y1 en y2)
beginpunt is dan  (2,76 + 5,90)/2 = 4,33
Formule:  y = 2 + 5,39 • sin(x - 4,33)
       
4. a. De eerste top van sin(x) is normaal  (1/2π, 1)
Door de verschuiving 3 wordt dat  (1/2π, 3)
Door de vermenigvuldiging factor 1/2 wordt dat (1/4π, 3)

De eerste top van cos(x) is normaal  (π, -1)
Door de verschuiving 3 wordt dat  (π, -3)
Door de vermenigvuldiging factor 1/2 wordt dat (1/2π, -3)

De afstand is dan  √((1/4π)2 + 62) = 6,05
       
  b. Voer de formule  Y1 = 1 + 3sin(2x) + 1 + 3cos(2x)  in je GR in.
Bereken de coördinaten van het eerste maximum en het eerste minimum.

Dat zijn (0.3927, 6.2426)  en  (1.9635, -2.2426)

de evenwichtslijn is  (6.2426 + -2.2426)/2 = 2
de amplitude is  6.2426 - 2 = 4,24
de periode is hetzelfde als van de oorspronkelijke functies, dus in de formule staat nu 2x
het beginpunt van cosinus is de top  dus x = 0,39

Dat geeft  h(x) = 2 + 4,24 • cos(2(x - 0,39))
       
5. a. de hoeveelheid varieert tussen 0,5 en 4,5 dus de evenwichtslijn is 2,5 en de amplitude is 2.
per minuut 20 betekent een periode van 1/20 minuut en dat is 3 seconden.
in de formule staat dan 2p/3
op t = 0 zit het minimum dus je kunt er het makkelijkst een gespiegelde cosinus van maken.
dat geeft  L(t) = 2,5 - 2 • cos(2π/3 • t)
       
  b. 2,5 - 2 • cos(2π/3 • t)  = 1,5
Y1 = 2,5 - 2 • cos(2π/3 • X) en Y2 = 1,5 en dan intersect geeft  t =  0,5 seconden
       
  c. De periode verandert naar 60/35 = 1,71 sec, dus in de formule komt nu 2π/1,71 = 3,67
 L(t) = 2,5 - 2 • cos(3,67t)
       
6. a. Lees af:  maximum (165, 21)  en minimum (348, 16.5)
De evenwichtslijn is dan  (16,5 + 21)/2 = 18,75
De amplitude is 21 - 18,75 = 2,25
De halve periode is  348 - 165 = 183, dus de periode is 366. Laten we maar 365 van een heel jaar nemen.
Een kwart periode vóór het maximum gaat de sinusgrafiek door de evenwichtsstand omhoog, dus dat is bij ongeveer 165 - 0,25 • 365 = 74
Dat geeft  y = 18,75 + 2,25 • sin(2π/365 •(x - 74))
       
  b. 4:19 is  4,32 uur  en  8:48 is 8,80 uur
17 juni is dagnummer 181  en  30 december is dagnummer 364
Het minimum is dus (181, 4.32) en het maximum is  (364, 8.80)
De evenwichtslijn is dan  (8,80 + 4,32)/2 = 6,56
De amplitude is 8,80 - 6,56 = 2,24
De halve periode is  364 - 181 = 183, dus de periode is 366. Laten we maar weer 365 van een heel jaar nemen.
Een kwart periode vóór het maximum gaat de sinusgrafiek door de evenwichtsstand omhoog, dus dat is bij ongeveer 364 - 0,25 • 365 = 273
Dat geeft  y = 6,56 + 2,24 • sin(2π/365 •(x - 273))
       
  c. Daglengte:
D = 18,75 + 2,25 • sin(2π/365 •(x - 74)) - (6,56 + 2,24 • sin(2π/365 •(x - 273)))
       
 

       
  Lees af (of gebruik je GR met calc-maximum/minimum):  minimum (356, 7.74) en maximum (173, 16.63)
De evenwichtslijn is dan  (7,74 + 16,63)/2 = 12,19
De amplitude is 16,63 - 12,19  = 4,44
De periode is uiteraard weer 365 dagen
Een kwart periode vóór het maximum gaat de sinusgrafiek door de evenwichtsstand omhoog, dus dat is bij ongeveer 173 - 0,25 • 365 = 82
Dat geeft  y = 12,19 + 4,44 • sin(2π/365 •(x - 82))
       
7. de snelheid varieert tussen 2,1 en 0,3 dus de evenwichtsstand is (2,1 + 0,3)/2 = 1,2 = a
de amplitude is de afstand van evenwichtslijn tot maximum dus 2,1 - 1,2 = 0,9 = b
de periode is 1 jaar, dus  c = 2π/1 = 2π
het maximum zit bij 3 maanden en dat is 0,25 jaar, de grafiek gaat een kwart periode daarvóór door de evenwichtsstand omhoog, dus dat is bij  t = 0,  dus  d = 0.
       
8. a. aflezen:  het maximum is 2700 en het minimum is 2200
Dan is de evenwichtlijn gelijk aan  y = 2450  dus  p = 2450
Dan is de amplitude  2700 - 2450 = 250  dus  q = 250

aflezen: de toppen liggen bij x = 0  en  x = 5
Dan is een periode gelijk aan  5
Dan is  r = 2p/5  dus  r  ≈ 1,26
       
  b. per keer ademt hij 2 · 1200 = 2400 mL lucht in
de periode is 2p/4,19 = 1,5 seconden
in 1 minuut ademt hij dan 60/1,5 = 40 keer  in en uit
dat is 40 · 2400 mL = 96000 mL lucht
Dat is 96 liter.
       
9. uurwijzer;
evenwichtslijn H = 15
amplitude 10
periode: 12 uur dus in de formule staat  2π/12 = π/6
beginpunt: begint om drie uur op hoogte H = 0 met omlaag gaan, dus de sinus is gespiegeld.
Dat geeft  U(t) = 15 - 10sin π/6t

minutenwijzer;
evenwichtslijn H = 15
amplitude 13
periode:  1 uur, dus in de formule staat 2π/1 = 2π
beginpunt: begint om drie uur bovenaan, dus we maken er een cosinus van.
Dat geeft  M(t) = 15 + 13cos2πt

secondewijzer;
evenwichtslijn H = 15
amplitude 14
periode: 1/60 uur dus in de formule staat  2π/1/60 = 120π
beginpunt: begint om drie uur bovenaan, dus we maken er een cosinus van.
Dat geeft  S(t) = 15 + 14cos120πt