|
|||||
| 1. | a. | f(x) = 1/sinx
= -2 sinx = -1/2 x = 11/6π ∨ x = 15/6π Uit de grafiek lees je dan af dat f > -2 geldt voor 0 < x < π en 11/6π < x < 15/6π. |
|
||
| b. | De toppen vind je door te stellen f ' =
0 f(x) = (sinx)-1 f ' (x) = -(sinx)-2 cosx = 0 -cosx/sin2x = 0 cosx = 0 x = 1/2π ∨ x = 11/2π Dat geeft de punten (1/2π, 1) en (11/2π, -1) a = Δy/Δx = (-1 - 1)/(1,5p - 0,5p) = -2/π De lijn is dan y = -2/π x + b en die moet door (1/2π, 1) gaan 1 = -2/π 1/2π + b ⇒ b = 2 De lijn is y = -2/π x + 2 en die gaat door (0,2) |
||||
| c. | p
- sin x = 1/sinx psinx - sin2x = 1 ....(1) Als er maar ιιn snijpunt moet zijn, dan moeten de grafieken elkaar raken, dus moeten de afgeleides ook gelijk zijn. -cosx = -cosx/sin2x Dat geeft sin2x = 1 ∨ cosx = 0 sinx = 1 ∨ sinx = -1 ∨ cosx = 0 x = 1/2π ∨ x = 11/2π x = 1/2π geeft met (1): sinx = 1 en p 1 - 1 = 1 ⇒ p = 2 x = 11/2π geeft met (1): sinx = -1 en p -1 - 1 = 1 ⇒ p = -2 |
||||
| 2. | a. | h(t) = 8 + 8sin(8,38t
- 1,57) laagste stand 0, hoogste stand 16 geeft evenwichtslijn 8 en dat is de eerste 8 uit de formule amplitude 16 - 8 = 8 en dat is de tweede 8 uit de formule. 80 keer per minuut dus de periode is 60/80 = 0,75 minuut, dus in de formule staat 2π/0,75 = 8,38 De zuiger begint onderin dus na 1/4 periode is hij in zijn evenwichtsstand. 1/4 van 2π is 1/2π = 1,57 |
|||
| b. | h' = 8
cos(8,38t - 1,57) 8,38 h '(2) = 8 cos(8,38 2 - 1,57) 8,38 = -58,2 op t = 2 beweegt de zuiger zich met 58,2 cm/sec omlaag. |
||||
| 3. | a. | g(x) = sin(1/4x) cos(
x) De periode van sin(1/4x) is 2π/1/4 = 8π De periode van cos(1/3x) is 2π/1/3 = 6π De gemeenschappelijke periode is 24π (drie periodes van 8π en 4 periodes van 6π) Dat zal de periode van g1/4 zijn. |
|||
| b. | g(x) = sin(1/3x) cos(
x) = 2sin(1/3x) cos( x) = sin(2 x) = sin(x) De periode is 2π/(2/3) = 3π |
||||
| c. | g(x) = sin(1/2x) cos(
x) g(p) = 1 1/2 = 1/2 dus het raakpunt is (π, 1/2) g'(x) = 1/2cos(1/2x) cos(1/3x) - 1/3sin(1/3x) sin(1/2x) g'(p) = 1/2 0 1/2 - 1/3 1/2√3 1 = -1/6√3 De raaklijn is y = -1/6√3 x + b Raakpunt invullen: 1/2 = -1/6√3 π + b ⇒ b = 1/2 + 1/6π√3 De raaklijn is y = -1/6√3 x + 1/2 + 1/6π√3 |
||||
| 4. | a. | De grafiek gaat door
(120, 1520) en (240, 480) Evenwichtslijn is (1520 + 480)/2 = 1000 Amplitude is 1520 - 1000 = 520 Halve periode is 240-120 = 120 dus de hele periode is 240 en in de formule staat 2π/240 = π/120 Beginpunt is een kwartperiode voor t = 120 dus bij 120 - 0,25 240 = 60 Formule: W = 1000 + 520sin(π/120(t - 60)) |
|||
| b. | 1300 =
900 + 550sin(0,03t - 5) 400 = 550sin(0,03t - 5) 0,7273 = sin(0,03t - 5) 0,03t - 5 = sin-1(0,7273) = 0,814 + k2π ∨ 0,03t -5 = π - 0,814 + k2π 0,03t = 5,814 + k2π ∨ 0,03t = 7,328 + k2π t = 194 + k209 ∨ t = 244 + k 209 De eerste mogelijkheid is t = 244 - 209 = 35 |
||||
| c. | Dan moet de afgeleide
gelijk zijn aan -2. W ' = 550cos(0,03t - 5) 0,03 = 16,5cos(0,03t - 5) = -2 cos(0,03t - 5) = -0,1212 0,03t - 5 = 1,692 + k2π ∨ 0,03t - 5 = 2π - 1,692 + k2π 0,03t = 6,692 + k2π ∨ 0,03t = 9,591 + k2π t = 223 + k209 ∨ t = 320 + k209 |
||||
| 5. | a. | Voor x = 1/2π
komt er sin21/2π
+ 1/2
sin1/2π
= 11/2
uit. Dat is de paarse grafiek hiernaast. |
|
||
| b. | Bij een horizontale raaklijn is
de afgeleide nul. f(x) = sin2x + sinx f ' (x) = 2sinxcosx + cosx = 0 cosx(2sinx + 1) = 0 cosx = 0 ∨ 2sinx + 1 = 0 cosx = 0 ∨ sinx = -1/2 x = 1/2π ∨ x = -1/2π ∨ x = -1/6π ∨ x = -5/6π Dat geeft de punten ( 1/2π, 2) ( -1/2π, 0) (-1/6π, -1/4)(-5/6π , -1/4) |
||||
| c. | Dan moet gelden (er
zijn twee mogelijkheden); mogelijkheid 1: f(1/2π) = 2 f(-1/2π) sin2(1/2π) + asin(1/2π) = 2 (sin2(-1/2π) + asin(-1/2π)) 1 + a = 2 (1 - a) 1 + a = 2 - 2a 3a = 1 a = 1/3 mogelijkheid 2: f(1/2π) = -2 f(-1/2π) sin2(1/2π) + asin(1/2π) = -2 (sin2(-1/2π) + asin(-1/2π)) 1 + a = -2 (1 - a) 1 + a = -2 + 2a 3 = a |
||||
| 6. | sinx = cos2x sinx = sin(1/2π - 2x) x = 1/2π - 2x + k2π ∨ x = π - (1/2π - 2x) + k2π 3x = 1/2π + k2π ∨ -x = 1/2π + k2π x = 1/6π + k2/3π ∨ x = -1/2π + k2π Dat is snijpunt bij x = 1/6π De afgeleide van sinx is cosx en die is gelijk aan 1/2√3 bij x = 1/6π De afgeleide van cos(2x) = -2sin(2x) en die is gelijk aan -1 bij x = 1/6π De raaklijn aan de grafiek van sinx maakt een hoek α met de positieve x-as waarvoor geldt tanα = 1/2√3 Dan is α = tan-1(1/2√3) = 40,9Ί De raaklijn aan de grafiek van cos2x maakt een hoek β met de positieve x-as waarvoor geldt tanβ = -1 Dan is β = tan-1(-1) = -45Ί Dan is de hoek tussen die raaklijnen 180Ί- 45Ί- 49,1Ί = 85,9Ί |
||||
| 7. | a. |
 |
|||
 |
|||||
 |
|||||
 |
|||||
 |
|||||
 |
|||||
| En dat is inderdaad gelijk. | |||||
| b. | (sinx +
cosx)/(sinx - cosx) = a sinx + cosx = a(sinx - cosx) deel nu alles door cosx; tanx + 1 = a(tanx - 1) tanx + 1 = atanx - a tanx - atanx = -1 - a tanx(1 - a) = -1 - a tanx = (-1 - a)/(1 - a) = (a + 1)/(a - 1) |
||||
| 8. |
cos(x +
α) + cosx is maximaal als de afgeleide ervan nul is. -sin(x + α) - sinx = 0 sin(x + α) = -sinx sin(x + α) = sin(-x) x + α = -x + k2π ∨ x + α = π - - x + k2π 2x = -α + k2π ∨ α = π + k2π x = -1/2α + kπ Dat maximum bij x = -1/2α moet kleiner of gelijk zijn aan 1: cos(-1/2α + α) + cos(-1/2α ) = 1 cos(1/2α) + cos(1/2α) = 1 cos(1/2α) = 1/2 1/2α = 1/3π + k2π ∨ 1/2 α = 12/3π + k2π α = 2/3π +k4π ∨ α = 31/3π + k4π de waarde is kleiner dan of gelijk aan 1 voor 2/3π ≤ α ≤ 31/3π (+k4π) |
||||
| 9. | L = f - g = 3sinxcosx - -2sin2x = 3sinxcosx + 2sin2x Dat is maximaal als de afgeleide nul is. L' = 3cosxcosx + 3sinx -sinx + 2 2sinx cosx = 0 3cos2x - 3sin2x + 4sinxcosx = 0 3(cos2x - sin2x) + 2 2sinxcosx = 0 3cos2x + 2sin2x = 0 2sin2x = -3cos2x sin2x/cos2x = -3/2 tan2x = -3/2 2x = tan-1(-3/2) = -0,98 + kπ x = -0,49 + k1/2π Tussen 0 en π geeft dat x = 1,08 en x = 2,65 Dan is L = 2,80 en L = -0,80 De eerste is de maximale lengte van L |
||||
| 10. |
 |
||||
| Dat is nul als cosx
= 0 x = 1/2π ∨ x = 11/2π (+k2π) Dat geeft de extremen (1/2π, 2) en (11/2π, -2) |
|||||
| 11. | a. | f '(x)
= -sin(x -
α) - cosx en
dat is kennelijk nul bij x = 2/3π -sin(2/3π - α) - cos(2/3π) = 0 -sin(2/3π - α) = cos(2/3π) = -1/2 sin(2/3π - α) = 1/2 2/3π - α = 1/6π + k2π ∨ 2/3π - α = 5/6π + k2π α = 1/2π + k2π ∨ α = -1/6π + k2π Dat k2π doet er niet toe, dat is de periode van sinx en cosx α = 1/2π geeft f(x) = cos(x - 1/2π) - sinx = sinx - sinx = 0 en dat heeft geen maxima α = -1/6π geeft f(2/3π) = cos(2/3π + 1/6π) - sin(2/3π) = cos(5/6π) - sin(2/3π) = -1/2√3 - 1/2√3 = -√3 |
|||
| b. | cos(-α -
α) - sin(-α) = 0 cos(-2α) = sin(-α) cos(-2α) = cos(1/2π - - α) cos(-2α) = cos(1/2π + α) -2α = 1/2π + α + k2π ∨ -2α = 2π - 1/2π - α + k2π -3α = 1/2π + k2π ∨ -α = 11/2π + k2π α = 1/6π + k2/3π ∨ α = -11/2π + k2π |
||||
| 12. | a. | y
= 0: 2 - 4sin(2x) = 0 4sin(2x) = 2 sin(2x) = 1/2 2x = 1/6π + k2π ∨ 2x = π - 1/6π + k2π x = 1/12π + kπ ∨ x = 5/12π + kπ Omdat A en B tussen x = 0 en x = π liggen zijn de x-coφrdinaten: 1/12π en 5/12π |
|||
| b. | f
'(x) = -4cos(2x) 2 (die 2 komt van de
kettingregel) f '(0) = -4 cos(2 0) 2 = -8 De raaklijn heeft dus vergelijking y = -8x + b De raaklijn moet door (0, 2) gaan dus b = 2 en de vergelijking is y = -8x + 2 Snijpunt met de x-as: -8x + 2 = 0 ⇒ 8x = 2 ⇒ x = 1/4. De coφrdinaten zijn dus (1/4, 0) |
||||
| 13. | a. | sin x + sin(2x)
= 0 sinx + 2sincosx = 0 sinx(1 + 2cosx) = 0 sinx = 0 ∨ 1 + 2cosx = 0 sinx = 0 ∨ cos = -1/2 x = 0 ∨ x = π ∨ x = 2/3π Punt B ligt bij x = 2/3π. |
|||
| b. | Bij de toppen geldt
f '(x) = 0 f '(x) = cosx + 2acos(2x) en dat moet nul zijn voor x = 5/6π cos(5/6π) + 2acos(10/6π) = 0 -1/2√3 + 2a 1/2 = 0 a = 1/2√3 f '(x) = cosx + √3cos(2x) = 0 cosx + √3(2cos2x - 1) = 0 cosx + 2√3cos2x - √3 = 0 2√3cos2x + cosx - √3 = 0 ABC-formule: cosx = (-1 ± √(1 + 42√3√3))/4√3 = (-1 ± 5)/4√3 = 4/4√3 of -6/4√3 cos = -6/4√3 geeft de eerdere oplossing x = 5/6π cosx = 4/4√3 geeft x = 0,96 en dat is de x-coφrdinaat van de gezochte tweede top. |
||||
| 14. | a. | x
+ cosx = x - 1 cosx = -1 x = π + k2π tussen 0 en 14 geeft dat de oplossingen π en 3π. x = π geeft y = x - 1 = π - 1 en het punt (π, π - 1) x = 3π geeft y = x - 1 = 3π - 1 en het punt (3π, 3π - 1) |
|||
| b. | x
+ cosx = x + 1 cosx = 1 x = 0 + k 2π tussen 0 en 14 geeft dat de oplossingen 0 en 2π en 4π. de lijn l heeft helling 1, dus als die de grafiek raakt, moet de grafiek van f in die punten ook helling 1 hebben. Dan moet gelden f ' = 1 f '(x) = 1 - sinx f '(0) = 1 - sin0 = 1 f ΄(2π) = 1 - sin(2π) = 1 f '(4π) = 1 - sin(4π) = 1 Dat klopt, dus raakt lijn l de grafiek van f in de drie gevonden punten. |
||||
| c. | De grafiek van g zal de
lijnen raken in punten waar de helling van g gelijk is aan 1. g ' = 1 ⇒ 1 - asinx = 1 ⇒ asinx = 0 ⇒ x = 0 + k π Dat geeft tussen 0 en 14 de mogelijkheden x = 0, π, 2π, 3π, 4π. Dat zijn de punten (0, 11/2 + a) en (π, 11/2 + π - a) en (2π, 11/2 + 2π + a) enz. Maar verder moet ook nog gelden dat die punten van de grafiek van g om en om ook op de lijnen y = x + 4 en y = x - 1 liggen. y = x + 4 gaat door (0, 4) dus zou a gelijk moeten zijn aan 21/2. dan is (π, 11/2 + π - a) gelijk aan ((π, π - 1) en dat ligt inderdaad op de lijn y = x - 1 controleer zelf maar dat a = 21/2 ook klopt met de andere punten.... |
||||
| 15. | a. | f ' = 1
· sinx + x · cosx Y1 = sin(X) + X * cos(X) calc - maximum geeft x = 1,07 en helling 1,391 |
|||
| b. | f ' =
sinx + x · cosx f '(π/6) = 1/2 + π/6 · 0,5√3 = 0,9534 De raaklijn is de lijn y = 0,9534x + b f (π/6) = π/6 · 1/2 = 0,2618 0,2618 = 0,9534 · π/6 + b Dat geeft b = -0,2374 De raaklijn is de lijn y = 0,95x - 0,24 |
||||
| 16. | a. | f(x) =
sin(x) (sin(x) + 2cos(x))
Met de productregel: (twee delen met verschillende kleur voor de duidelijkheid) f ' = cos(x) (sin(x) + 2cos(x)) + sin(x) (cos(x) - 2sin(x)) |
|||
| b. | A = (π,
0) De helling in A is f ' (π) sin(2π) 2cos(2π) = 0 + 2 1 = 2. De raaklijn is dus y = 2x + b en die moet door (π, 0) gaan. 0 = 2 π + b geeft b = -2π De raaklijn is dus y = 2x - 2π Snijden met de grafiek van f: 2x - 2π = sin(x) (sin(x) + 2cos(x)) te moeilijk, dus met de GR: Y1 = 2X - 2π en Y2 = sin(X) (sin(X) + 2cos(X)) en dan intersect geeft X = b = 3,84 |
||||
| 17. | a. | fa(x)
= sinx sin(x - a) met de productregel: f ' = cosx sin(x - a) + sinx cos(x - a) Maar omdat sin(α + β) = sinαsinβ + cosαcosβ geldt hier: f ' = sin(x + x - a) = sin(2x - a) |
|||
| b. | de
hellingen gelijk, betekent f ' = g' dus
in dit geval sin(2x - 1/6π)
= cosx Maar cosx = sin(1/2π - x) Dus sin(2x - 1/6π) = sin(1/2π - x) 2x - 1/6π = 1/2π - x + k2π ∨ 2x - 1/6π = π - (1/2π - x) + k2π 3x = 2/3π + k2π ∨ x = 2/3π + k2π x = 2/9π + k2/3π ∨ x = 2/3π + k2π De eerste oplossing geeft twee waarden die 2/3π van elkaar verschillen vanwege de k 2/3π |
||||
| 18. |
|
||||
| a. | Kies als oorsprong
het midden van het rad. Dan geldt voor de coφrdinaten van het stoeltje van zijn vrouw: amplitude 38, periode 240 sec, evenwichtslijn 0, beginpunt 7/20 deel verder, dus 84 seconden. Dus x(t) = 38cos(π/120(t + 84)) en y(t) = 38sin(π/120(t + 84)) |
||||
| b. | De coφrdinaten van de
man zijn M = (-12, -76) Dus MV = √( (12 + 38cos(π/120(t + 84)))2 + (76 + 38sin(π/120(t + 84))) in de GR: Y1 = 38cos(π/120*(X + 84)) Y2 = 38sin(π/120*(X + 84)) Y3 = √((12 + Y12) + (76 + Y22)) Y4 = nDerive(Y1, X, X) calc - value - Y4(0) = -0,5044 m/sec Zijn vrouw beweegt zich naar hem toe met 0,5 m/sec |
||||
| 19. | a. | 1 - sinx =
cos2x 1 - sinx = 1 - 2sin2x 2sin2x - sinx = 0 sinx(2sinx - 1) = 0 sinx = 0 sinx = 1/2 x = 0 ∨ x = π ∨ x = 1/6π ∨ x = 5/6π |
|||
| b. | Als de raaklijnen
evenwijdig zijn hebben de functies dezelfde afgeleide bij x =
p f ' (p) = -cosp g '(p) = -2sin2p -cosp = -2sin2p cosp - 2sin2p = 0 cosp - 4sinpcosp = 0 cosp (1 - 4sinp) = 0 cosp = 0 ∨ sinp = 1/4 dan is sinp = 1 ∨ sinp = -1 ∨ sinp = 1/4 Maar met p tussen 0 en π geeft dat sinp = 1 ∨ sinp = 1/4 |
||||
| 20. | a. | g' = 1 - 2cosx
= 0 cosx = 1/2 x = 1/3π ∨ x = 12/3π Dat geeft de extremen (1/3π, 1/3π - √3 + 2) en (12/3π, 12/3π + √3 + 2) |
|||
| b. | f '= g'
geeft 1 - 2sinx = 1 - 2cosx sinx = cosx x = 1/4π ∨ x = 5/4π f = g geeft dan 1/4π + √2 = 1/4π - √2 + k . Dus is k = 2√2 5/4π - √2 = 5/4π + √2 + k. Dus is k = -2√2 |
||||
| 21. | AB = f(p) - g(p) =
1/2sin(2x
- 2/3π)
- 1/4√3
- sin(x - 2/3π) Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is: AB' = 1/2cos(2p - 2/3π) 2 - cos(x - 2/3π) = 0 cos(2p - 2/3π) = cos(x - 2/3π) 2p - 2/3π = p - 2/3π + k2π ∨ 2p - 2/3π = -p + 2/3π + k2π p = 0 + k2π ∨ 3p = 4/3π + k2π p = 0 + k2π ∨ p = 4/9π + k2/3π Tussen 0 en 2/3π geeft dat een maximum bij p = 4/9π |
||||
| 22. | sin(x)cos(2x) met de
productregel: f ' = cosx cos2x + sinx -sin(2x) 2 = cosx cos(2x) - 2sinx sin(2x) = cosx (2cos2x - 1) - 2sinx 2sinxcosx (regels voor cos2x en sin2x) = 2cos3x - cosx - 4sin2x cosx = 2cos3x - cosx - 4(1 - cos2x) cosx (sin2x + cos2x = 1) = 2cos3x - cosx - 4cosx + 4cos3x = 6cos3x - 5cosx Als de lijnen loodrecht op elkaar staan dan is rc1 rc2 = -1 Dus f '(p) g'(p) = -1 (6cos3x - 5cosx) cosx = -1 6cos4x - 5cos2x = -1 noem cos2x = q dan staat er 6q2 - 5q + 1 = 0 q = (5 ± √1)/12 = 1/2 of 1/3 cos2x = 1/2 ∨ cos2x = 1/3 cosx = 1/2 ∨ cosx = -1/2 ∨ cosx = 1/3 ∨ cosx = -1/3 Elke geeft twee oplossingen tussen -½π en 1½π In totaal dus 8 oplossingen |
||||
| 23. | Snijpunten: sin(x) = sin(x)/sin(2x) sin(x) sin(2x) = sin(x) (en sin(2x) ≠ 0) sin(x)sin(2x) - sin(x) = 0 sin(x) (sin(2x) - 1) = 0 sin(x) = 0 ∨ sin(2x) = 1 x = 0 ∨ 2x = 1/2π + k2π x = 0 ∨ x = 1/4π ∨ x = -3/4π De snijpunten zijn x = 1/4π en x = -3/4π Als de grafieken raken moeten de hellingen daar ook gelijk zijn. f '(x) = (cos(x)sin(2x) - sinx2cos(2x))/sin²2x en g '(x) = cos(x) x = 1/4π geeft f ' = (0,5√2 - 0)/(1) = 1/2√2 en g ' = 1/2√2 x = -3/4π geeft f ' = (-0,5√2 - 0)/(1) = -1/2√2 en g ' = -1/2√2 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
