© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Dit is binomiaal met n = 6 en p = 1/3
P(X = 1) = binompdf(6, 1/3, 1) = 0,2634 		 
       
  b. P(GG) = 4/6 • 3/6 = 1/3  en dan krijg ik 3,00 euro
P(niet GG ) = 1 - 1/3 = 2/3  en dan krijg jij  1,50 euro
De verwachtingswaarde van het aantal euro dat ik krijg is   1/3 • 3  + 2/3 • -1,50 = 0
Dat is dus inderdaad een eerlijk spel.
       
2. a. P(0 euro) = 0,88
P(40 euro) = 0,12
verwachtingswaarde is  E = 0 • 0,88 + 40 • 0,12 = €4,80
       
  b. Dan moet gelden:   40 • p = 5  dus  p = 0,125. De controlekans zou  12,5% moeten zijn.  
       
  c. Dan moet gelden:   X • 0,12 = 5  dus  X = €41,67
Dat betekent een prijs van €5 en een boete van €36,67
       
  d. (B + K) • p = K
B + K = K/p
B = K/p - K = K(1 - 1/p)
       
3. a. 1 keer wachten:  P(1) = P(WN) + P(NW) = 0,4 • 0,5 + 0,6 • 0,5 = 0,5
0 keer wachten:  P(0) = P(NN) = 0,6 • 0,5 = 0,3
2 keer wachten:  P(2) = P(WW) = 0,4 • 0,5 = 0,2
De kansverdeling:
   
aantal keer wachten 0 1 2
kans 0,3 0,5 0,2
       
    Het gemiddelde is dan  0 • 0,3 + 1 • 0,5 + 2 • 0,2 = 0,9
       
  b. 1 keer wachten:  P(1) = P(WN) + P(NW) = p • (1 - q) + (1 - p) • q  = p + q - 2pq
0 keer wachten:  P(0) = P(NN) = (1 - p) • (1 - q) = 1 - p - q + pq
2 keer wachten:  P(2) = P(WW) = pq
De kansverdeling:
   
aantal keer wachten 0 1 2
kans 1 - p - q + pq p + q - 2pq pq
       
    E = 0 • (1 - p - q + pq)  + 1 • (p + q - 2pq) + 2 • pq  = p + q - 2pq + 2pq = p + q
       
    Je kunt het sneller zσ zien:  omdat de kansen onafhankelijk van elkaar zijn mag je de verwachtingswaarden van de bruggen apart berekenen en bij elkaar optellen.
Bij brug 1 is de verwachtingswaarde p en bij brug 2 is die q.  Samen dus p + q.
       
4. a.
   
   
   
   
   
   
   
   
    De verwachtingswaarde is   2,046•10-8 • 7500000 + 1,023 • 10-7 • 1000000 +  4,788•10-6 • 50000 + 2,394•10-5 • 450 +  2,274•10-4 • 50 + 0,00114 • 15 + 0,00374 • 6 + 0,0187 • 4,50 + 0,1515 • 1,50
=  0,8682

De inkomsten per formulier zijn 1,50
Dus de lotto geeft  0,8682/1,5 • 100% = 57,9% terug.
       
  b. P(Jackpot) = 2,046230067•10-8 per lot.
P(niet Jackpot) = (1 - 2,046230067•10-8 ) per lot
P(niet Jackpot) = (1 - 2,046230067•10-8 )3200000  = 0,9366183
om op te lopen tot 10 miljoen moet de Jackpot  minstens 5 keer niet uitgekeerd worden.
P(NNNNN) = 0,93661835 ≈ 0,72
       
5. De kansverdeling voor jouw winst:
   
bloedgroep O A B AB
kans 0,47 0,42 0,08 0,03
jouw winst 0 -6 +10 +50
       
  Gemiddelde:  0 • 0,47 - 6 • 0,42 + 10 • 0,08 + 50 • 0,03 =  -0,22
Dus ik zal per spelletje gemiddeld €0,22 winst maken.
       
6. Zie de kansboom hiernaast.
De rode getallen onderaan geven het aantal regendagen.

P(3) = 0,6 • 0,6 • 0,6 = 0,216
P(2) = 0,6•0,6•0,4 + 0,6•0,4•0,3 + 0,4•0,3•0,6 = 0,288
P(1) = 0,6•0,4•0,7 + 0,4•0,3•0,4 + 0,4•0,7•0,3 = 0,3
P(0) = 0,4•0,7•0,7 = 0,196

E = 3 • 0,216 + 2 • 0,288 + 1 • 0,3 + 0 • 0,196 = 1,524
 
       
7. a.
aantal keer gooien 1 2 3 4 5 6
kans 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,03125
teruggave €0 €2 €6 €20 €40 €75
    P(1) = 0,5
P(2) = 0,5 • 0,5
P(3) = 0,5 • 0,5 • 0,5
P(4) = 0,5 • 0,5 • 0,5 • 0,5
P(5) = 0,5 • 0,5 • 0,5 • 0,5 • 0,5
P(6) = 0,5 • 0,5 • 0,5 • 0,5 • 0,5

Verwachtingswaarde is 
0,5 • 0 + 0,25 • 2 + 0,125 • 6 + 0,0625 • 20 + 0,03125 • 40 + 0,03125 • 75 = €6,09375
omdat de inleg €5 is, verwacht hij gemiddeld per spel €1,09375 te winnen.
       
  b. 0,5 • 0 + 0,25 • 2 + 0,125 • 6 + 0,0625 • 20 + 0,03125 • 40 + 0,03125 • X = 5
3,75 + 0,03125X = 5
0,03125X = 1,25
X = 40
       
8. a. P(zelfde kleur) = P(RR) + P(BB) = 5/10 • 4/9 + 5/10 • 4/9 = 4/9
P(verschillende kleur) = P(RB) + P(BR) = 5/10 • 5/9 + 5/10 • 5/9 = 5/9 
Dat geeft de volgende kansverdeling:
   
jouw uitkering 1,10 -1,00
kans 4/9 5/9
       
    Gemiddeld zul je  1,10 • 4/9 - 1,00 • 5/9 = - 1/15 euro krijgen.  Dus verliezen.
Dat is dus geen gunstig spelletje voor jou.
       
  b. Stel dat er x knikkers van elke soort zijn.
P(zelfde kleur) = x/2x • (x - 1)/(2x - 1) • 2 =  (x - 1)/(2x - 1) 
P(verschillende kleur) =  x/2x • x/(2x - 1) • 2 =  x/(2x - 1)
E =  1,10 • (x - 1)/(2x - 1)  -  1,00 • x/(2x - 1)  
Het spelletje is eerlijk als E = 0
1,10 • (x - 1)/(2x - 1)  =  1,00 • x/(2x - 1)
1,10(x - 1) = x
1,10x - 1,10 = x
0,1x = 1,10
x = 11
Dus 11 knikkers van elke soort:  in totaal 22 knikkers.
       
9. a. eerste moord: 9 manieren, tweede moord:  8 manieren, ....
in totaal 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 9! = 362880 manieren
       
  b. er zijn 3 • 2 • 1 = 6 manieren om de jaartallen te gokken.
voor 43 goed is er maar ιιn gunstige manier, dus P(3 goed) = 1/6 = 0,1666

2 goed kan niet (dan is immers ook de derde goed)  dus  P(2 goed) = 0

met 1 goed zijn  er 3 gunstige manieren (als de goede bekend is liggen ook beide anderen vast)
dus  P(1 goed) = 3/6

dan blijft over P(0 goed) = 1 - 1/6 - 0 - 3/6 = 1/3
       
  c. voor ιιn groepje:  E = 0 • 0,33 + 1 • 0,50 + 2 • 0 + 3 • 0,17 = 1
voor drie groepjes is dan E = 3 • 1 = 3
       
10. a.
       
  b. P(1) = P(W) = 2/5 = 0,4
P(2) = P(RW) = 3/5 • 2/4 = 0,3
P(3) = P(RRW) = 3/5 • 2/4 • 2/3 = 0,2
P(4) = P(RRRW) =  3/5 • 2/4 • 1/3 • 1 = 0,1
E = 1 • 0,4 + 2 • 0,3 + 3 • 0,2 + 4 • 0,1 = 2 
       
  c. Stel dat er 3 roden en W witte ballen in de vaas zitten
Dan is de kans op 2 roden en 1 witte gelijk aan:
   
    Y1 = (3 nCr 2)*(X nCr 1) / ((X + 3) nCr 3) 
Kijk bij TABLE wanneer daar ongeveer 0,175 uitkomt.
Dat is bij X = 7
Er zaten dus 7 witte ballen in de vaas.
       
11. a. zie de boom hiernaast.

Rood is wat jij pakt, zwart wat jouw leraar pakt.
Blauw zijn de kansen.

P(voldoende)
= P(6 of 7 of 6 of 6)
= 3/6•2/4•1/2 + 3/6•2/4•1/2 + 3/6•2/4 + 2/6•3/4 = 0,75
 

     
  b. P(7) = 3/6•2/4•1/2 = 1/8
P(6) = 3/6•2/4•1/2  +  3/6•2/4 + 2/6•3/4 = 5/8
P(5) = 2/6 • 1/4 + 1/6 • 3/4 = 5/24
P(4) = 1/6 • 1/4 = 1/24

E = 7 • 1/8 + 6 • 5/8  + 5 •  5/24  + 4 • 1/24 = 35/6 = 5,83
       
12.

       
  Hierboven staan alle mogelijke routes vanaf A, B en C getekend.

A:  in totaal 252 routes. 
E = 42/252 • 10 + 90/252 • 20 + 75/252 • 40 + 35/252 • 40 + 9/252 • 20 + 1/252 • 10 = 27,02
hetzelfde geldt voor E want de figuur is symmetrisch

B:  in totaal 418 routes
E = 48/418 • 10 + 117/418 • 20 + 125/418 • 40 + 84/418 • 40 + 36/418 • 20 + 8/418 • 10 = 28,66
Hetzelfde geldt voor D want de figuur is symmetrisch.

C:  in totaal 472 routes.
E = 27/472 • 10 + 83/472 • 20 + 126/472 • 40 + 126/472 • 40 + 83/472 • 20 + 27/472 • 10 = 29,53
       
13. a. aflezen:  bij 30 jarigen is ongeveer 82% NIET immuun en bij 45-jarigen is dat ongeveer 40%
Dat betekent dat bij 30 jarigen  18% WEL immuun is, en bij 40-jarigen 60%
Dat is inderdaad ruim drie keer zo groot.
       
  b. Voor 50-jarigen in ongeveer 32% NIET immuun dus 68% WEL immuun.

Blind inenten kost 20 • 200 =  f 4000

Gericht inenten:
De AHA tests kosten 20 • 40 = 800
Er zullen  0,32 • 20 = 6 personen een inenting moeten krijgen en dat ksot 6 • 200 = 1200
Samen is dat f 2000
       
  c. Stel dat de kans p is dat iemand NIET immuun is.
Dan kost gericht inenten:
20 • 40 = 800 voor de AHA-tests
20p• 200 = 4000p  voor de inentingen
Samen is dat 800 + 4000p

Blind inenten kost altijd 20 • 200 = 4000

800 + 4000p = 4000
4000p = 3200
p = 3200/4000 = 0,8
Aflezen uit de figuur:  dat is ongeveer bij 32-jarigen.
       
14. a. De klassenmiddens zijn  75 - 200 - 400 - 650 - 1200
Dat geeft  0,05 • 75 + 0,20 • 200 + 0,40 • 400 + 0,25 • 650 + 0,10 • 1200 = 486,25
       
  b. Neem een willekeurige fiets uit het bestand.
De kans is 0,23 dat die bijv. 2e jaar is
De kans dat die gestolen wordt is dan  0,06 • 0,23
Dat kost dan 0,9 • 0,06 • 0,23 • 486,25 =  60,02

Dezelfde berekeningen voor de andere jaren geven een totaalbedrag van:

(1 • 0,08 • 0,46 + 0,9 • 0,06 • 0,23 + 0,75 • 0,04 • 0,22 + 0,50 • 0,02 • 0,05 + 0,25 • 0,02 • 0,04) • 486,25
Dat is f 27,48
       
15. a. P(dezelfde soort) = 1 • 12/51 • 11/50 = 0,0518  en dat levert haar tien keer de inzet op
P(dezelfde kleur) = 1 • 25/51 • 24/50 = 0,2353  en dat levert haar twee keer de inzet op.
De verwachtingswaarde is dan  10 • 0,0518 + 2 • 0,2353 = 0,9886 keer de inzet
Ze heeft eerst de inzet betaald, dus haar winstverwachting is  0,9886 - 1 = -0,0114 maal de inzet (verlies dus)
       
  b.
       
  c. Minstens 2 even hoge kaarten kan als volgt gebeuren:    2 Azen,  2 achten, 2 drieλn, 3 drieλn
Dat geeft respectievelijk:
   
       
16. a. P(1 kind) = 0,9861
P(2 kinderen) = 0,0132
P(3 kinderen) = 0,0004
De verwachtingswaarde is dan  1 • 0,9861 + 2 • 0,0132 + 3 • 0,0004 = 1,0137 kinderen per bevalling.
       
  b. 10 bevallingen en 12 kinderen kan op de volgende manieren plaatsvinden:
ιιn drieling en 9 enkelingen:   kans is  0,0004 • 0,98619 • 10 = 0,0035
twee tweelingen en 8 enkelingen:  kans is  0,01322 • 0,98618 • (10 nCr 2) = 0,0070
Samen geeft dat een kans van  0,0035 + 0,0070 = 0,0105
       
17. a. P(zakken, zakken, zakken) = 0,25 • 0,25 • 0,25 = 0,015625
       
  b. P(1 test) = P(slagen) = 0,75 = 0,7500
P(2 tests) = P(zakken, slagen) = 0,75 • 0,25 = 0,1875
P(3 tests) = P(zakken, zakken) = 0,25 • 0,25 = 0,0625
       
  c. gemiddeld aantal tests per kandidaat is   1 • 0,75 + 2 • 0,1875 + 3 • 0,0625 = 1,3125
men verwacht 2000/1,40 = 1429 tests te moeten afnemen
Da zijn dan  1429/1,3125 = 1088 α 1089 kandidaten
       
18. A
prijs 500 1000 2000
kans 0,25 0,50 0,25
    De verwachtingswaarde is  500 • 0,25 + 1000 • 0,50 + 2000 • 0,25 = 1125
       
  B. Als de kandidaat de enveloppe van 50 pakt (kans 0,25)  en de quizmaster eentje van 1000 dan zitten er nog een enveloppe van 1000 en een enveloppe van 2000 in de vaas
De gemiddelde winst zal dan   0,5 • 1000 + 0,5 • 2000 = 1500 zijn.

Als de kandidaat de enveloppe van 1000 pakt (kans 0,5)  en de quizmaster eentje van 1000 dan zitten er nog een enveloppe van 2000 en een enveloppe van 500 in de vaas
De gemiddelde winst zal dan   0,5 • 2000 + 0,5 • 500 = 1250 zijn.

Als de kandidaat de enveloppe van 2000 pakt (kans 0,5)  en de quizmaster eentje van 1000 dan zitten er nog een enveloppe van 1000 en een enveloppe van 500 in de vaas
De gemiddelde winst zal dan   0,5 • 1000 + 0,5 • 500 = 750 zijn.
       
   
prijs 1500 1250 750
kans 0,25 0,50 0,25
    De verwachtingswaarde is  1500 • 0,25 + 1250 • 0,50 + 750 • 0,25 = 1187,50
       
  C. De verwachtingswaarde is 1000  
       
  mogelijkheid B zal de kandidaat naar verwachting het meest opleveren.
       
19. Stel dat ik eerst x munten van 10 eurocent en y munten van 20 eurocent heb.
Dan is de verwachtingswaarde:   10 • x/(x + y) + 20 • y/(x + y) = 16
Dat geeft  10x + 20y = 16(x + y)  ofwel   0 = 6x - 4y   ..........(1)

:Later heb ik dan  x munten van 10 eurocent en y + 20 munten van 20 eurocent.
Dan is de verwachtingswaarde:   10 • x/(x + y + 20) + 20 • (y + 20)/(x + y + 20) = 17
Dat geeft  10x + 20y + 400 = 17(x + y + 20)  ofwel  60 = 7x - 3y

Vergelijking (1) geeft y = 1,5x en dat kun je invullen in de laatste vergelijking:  60 = 7x - 4,5x
2,5x = 60  geeft  x = 24  en dan is y = 36

Ik had oorspronkelijk  24 • 0,10 + 36 • 0,20 = €9,60 in mijn portemonnee
       
20. a. Het aantal verbeteringen is binomiaal verdeeld met n = 3 en p = 0,7
P(2 verbeteringen) = binompdf(3, 0.70, 2) = 0,441

OF
P(2 verbeterigen) =  0,70 • 0,70 • 0,30 • (3 nCr 2) = 0,441
       
  b.
aantal verbeteringen winst kans
0 0 0,027
1 80000 0,189
2 105000 0,441
3 115000 0,343
    De verwachtingswaarde voor de winst is 
0 • 0,027 + 80000 • 0,189 + 105000 • 0,441 + 115000 • 0,343 = €100870,-
Maar ze kosten €90000 dus blijft over winst €10870,-
       
  c. Voor ιιn deskundige geldt:
   
aantal verbeteringen winst kans
0 0 0,3
1 80000 0,7
    de verwachte winst is  0 • 0,3 + 80000 • 0,7 = €56000 maar de deskundige kost  €30000 dus dat levert  €26000 op.
       
    Voor twee deskundigen geldt:  
   
aantal verbeteringen winst kans
0 0 0,09
1 80000 0,42
2 105000 0,49
    de verwachte winst is  0 • 0,09 + 80000 • 0,42 + 105000 • 0,49 = €85050  maar de deskundigen kosten  €60000 dus dat levert  €25050 op.
       
    Voor drie deskundigen was de verwachte winst €100870 (vraag b) maar de deskundigen kosten €90000 dus dat levert €10870 op.
       
    Voor vier of meer deskundigen geldt dat men zeker verlies gaat maken, immers ze kosten samen dan €120000 of meer en leveren maximaal €115000 op.
     
    Men moet dus twee deskundigen aannemen om de verwachte winst zo groot mogelijk te maken.
       
21. a.
 

aantal machines dat
de aannemer nodig heeft
  0 1 2 3 4
aantal
machines
dat CSC
stuurt		 1 -10 50 50 50 50
2 -20 40 100 100 100
3 -30 30 90 150 150
4 -40 20 80 140 200
       
  b. Stel dat ze ιιn machine sturen. Dat geeft deze kansverdeling
   
aannemer heeft nodig 0 1 2 3 4
kans 0,50 0,10 0,20 0,15 0,05
winst -10 50 50 50 50
    De verwachtingswaarde van de winst is  -10 • 0,50 + 50 • 0,10 + 50 • 0,20 + 50 • 0,15 + 50 • 0,05 = +20
       
    Stel dat ze twee machines sturen. Dat geeft deze kansverdeling
   
aannemer heeft nodig 0 1 2 3 4
kans 0,50 0,10 0,20 0,15 0,05
winst -20 40 100 100 100
    De verwachtingswaarde van de winst is  -20 • 0,50 + 40 • 0,10 + 100 • 0,20 + 100 • 0,15 + 100 • 0,05 = +34
       
    Stel dat ze drie machines sturen. Dat geeft deze kansverdeling
   
aannemer heeft nodig 0 1 2 3 4
kans 0,50 0,10 0,20 0,15 0,05
winst -30 30 90 150 150
    De verwachtingswaarde van de winst is  -30 • 0,50 + 30 • 0,10 + 90 • 0,20 + 150 • 0,15 + 150 • 0,05 = +36
       
    Stel dat ze drie machines sturen. Dat geeft deze kansverdeling
   
aannemer heeft nodig 0 1 2 3 4
kans 0,50 0,10 0,20 0,15 0,05
winst -40 20 80 140 200
    De verwachtingswaarde van de winst is  -40 • 0,50 + 20 • 0,10 + 80 • 0,20 + 140 • 0,15 + 200 • 0,05 = +29
       
    conclusie:  men zal drie machines sturen.  
       
22. a. eerste schijf levert gemiddeld op:   0,4  • 0 + 0,1 • 1 + 0,5 • 2 = 1,1  dus de winst is 0,1
tweede schijf levert gemiddeld op:  0,2 • 0 + 0,4 • 1 + 0,4 • 2 = 1,2  dus de winst is 0,2
       
  b. Om geld gewonnen te hebben moet je dus mιιr dan 3 euro krijgen
Dat kan op de volgende vier manieren:  220, 221, 222, 211

schijf 1:  kansen (resp.):   0,5 • 0,5 • 0,4 • 3 + 0,5 • 0,5 • 0,1 • 3 + 0,5 • 0,5 • 0,5 + 0,5 • 0,1 • 0,1 • 3 = 0,515
schijf 2: kansen (resp.):  0,4 • 0,4 • 0,2 • 3 + 0,4 • 0,4 • 0,4 • 3 + 0,4 • 0,4 • 0,4 + 0,4 • 0,4 • 0,4 • 3 = 0,544

bij schijf 2 is de kans het grootst.
       
23.

       
  zie de kansboom hierboven voor de opeenvolgende bezoeken. G = gaat op bezoek bij een gezonde kluizenaar en   I = gaat op bezoek bij een immune kluizenaar (dan sterft de ziekte direct uit).
Het rode getal onderaan de takken geeft aan hoeveel er nou ziek zijn geweest.
       
  P(2) = 1/5 = 0,2
P(3) = 4/5 • 2/5 = 0,32
P(4) = 4/5 • 3/5 • 3/5 = 0,288
P(5) = 4/5 • 3/5 • 2/5 • 4/5 = 0,1536
P(6) = 4/5 • 3/5 • 2/5 • 1/5  = 0,0384

De verwachtingswaarde is  2 • 0,2 + 3 • 0,32 + 4 • 0,288 + 5 • 0,1536 + 6 • 0,0384 = 3,5104
       
24. De volgende tabel geldt voor de winst van Arie:
   
 

achtvlak
1 2 3 4 5 6 7 8
z
e
s
v
l
a
k		 1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3
6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2
       
  Elk bedrag heeft kans 1/48.
Tel ze daarom allemaal op en deel door 48. Dat geeft gemiddelde +48/48 = 1 euro.
       
25. a. Alice verwacht het volgende:  
   
  Obama wint Obama verliest
winst +2 -3
kans 0,65 0,35
    de verwachtingswaarde van haar winst is  2 • 0,65 - 3 • 0,35 = +0,25
       
  b. Bob verwacht het volgende:  
   
  Obama wint Obama verliest
winst -X +2
kans 0,25 0,75
 
    de verwachtingswaarde van zijn winst is  2 • 0,75 - X • 0,25
Dat is positief voor hem als  X kleiner dan 6 is.
hij zal een bedrag kleiner dan 6 accepteren
       
  c. Obama wint:   ik krijg €3 van Bob en ik betaal Alice €2. Mijn winst is €1.
Obama verliest:  ik betaal Bob €2 en krijg €3 van Alice.  Mijn winst is ook €1.
       
26. De kans dat een eend overleeft is  (7/8)8  (elke jager moet dan NIET op hem schieten) = 0,3436
Het "gemiddeld aantal eenden dat het van die ene eend overleeft"   is dan   0 • 0,6564  + 1 • 0,3436 = 0,3436
van 8 eenden is het gemiddeld aantal overlevers dan 8 • 0,3436 = 2,7489
     
27. a.
gebeurtenis kans uitbetaling
3 KOP
2 KOP
1 KOP
0 KOP		 0,125
0,375
0,375
0,125		 9
4
1
0
    De kansen zijn met de binomiale verdeling berekend (n = 3, p = 0,5)
       
  b. De verwachtingswaarde van de uitbetaling is  9 • 0,125 + 4 •  0,375 + 1 • 0,375 + 0 • 0,125 = €3
Als je €1,20 winst wilt verwachten dan moet je inleg dus  €1,80 zijn.
       
28. a.
aantal maal Anker 0 1 2 3
kans 125/216 75/216 15/216 1/216
       
    P(2 anker) = (1/6)2 • (5/6) • (3 nCr 2) = 15/216
P(2 anker) = (1/6)3  = 1/216
       
  b. -1 • 125/216 +  1 • 75/216 +  2 • 15/216 + 3 • 1/216 = -17/216
       
  c. P(minstens ιιn anker) = 1 - 125/216 = 91/216
de kans dat dat 22 keer achter elkaar gebeurt is dan  (91/216)22 = 0,0000000055
Reactie III denk ik.
       
29. a. P(NNW) = 0,10 • 0,20 • 0,40 =  0,008  
       
  b.
aantal bezoeken kans
1
2
3		 0,90
0,10 • 0,80 = 0,08
0,10 • 0,20 = 0,02
 
    Het gemiddeld aantal; bezoeken is  1 • 0,90 + 2 • 0,08 + 3 • 0,02 = 1,12
Bij 1400 adressen zijn dat  1,12 • 1400 = 1568 bezoeken.
       
30. a.

       
    De kansen aan het eind van de takken krijg je door de kansen van de afzonderlijke takken te vermenigvuldigen.
Er zijn 2 takken die -10 opleveren.
De kans op -10 is gelijk aan  2/10 + 2/10 = 4/10
       
  b. De kans op +10 is gelijk aan  1 - 3/10 - 4/10 - 1/10 = 2/10  want alle kansen samen moeten 1 zijn.
Dat geeft de tabel:
Eindresultaat -20 -10 +10 +20
kans 0,3 0,4 0,2 0,1

Het gemiddelde (de verwachtingswaarde) van deze tabel is  -20 • 0,3 + -10 • 0,4 + 10 • 0,2 + 20 • 0,1 = -6
       
  c.

       
    Uit deze kansboom lezen we de volgende kansen af:
Eindresultaat +10 0 -10
Kans 0,4 0,4 0,2

Het verwachte gemiddelde is nu  10 • 0,4 + 0 • 0,4 + -10 • 0,2 = 2 euro
Dat is meer dan de -6 euro van Renske, dus de strategie van Marlies is beter. 
       
31. a. P(in ιιn worp) = P(4) = 1/4
P(in twee worpen) = P(13) + P(31) + P(22) = 1/4 • 1/4 + 1/4 • 1/4 + 1/4 • 1/4 = 3/16
P(in drie worpen) = P(112) + P(121) + P(211) = 1/4 • 1/4 • 1/4 • 3 = 3/64
P(in 4 worpen) = P(1111) = 1/4 • 1/4 • 1/4 • 1/4 = 1/256
Samen geeft dat een kans van  1/4 + 3/16 + 3/64 + 1/256 = 125/256
       
  b.
worp kans winst
11 1/16 -0,75
12 1/16 0,25
13 1/16 1,25
14 1/16 -2,75
2 1/4 -0,75
3 1/4 0,25
4 1/4 1,25
 
       
    Het gemiddelde (de verwachtingswaarde) is  
1/16 • -0,75 + 1/16 • 0,25 + 1/16 • 1,25 + 1/16 • -2,75 + 1/4 • -0,75 + 1/4 • 0,25 + 1/4 • 1,25 = 0,0625
Dat is per keer, dus bij 80 keer spelen is de verwachte winst  80 • 0,0625 = €5
       
32. a. Hij zal een kwart goed hebben, dus 0,25 • 20 = 5 goede antwoorden verwachten.
       
  b. P(1 punt) = 0,25 en P(-0,5 punt) = 0,75
De verwachtingswaarde is dan 1 • 0,25 + -0,5  • 0,75 = -0,125
       
33. a. P(tweede monsters moeten getest) = P(minstens ιιn monster verontreinigd) = 1 - P(geen monster verontreinigd) =
= 1 - 0,995 = 1 - 0,95099.. = 0,0490099... - 0,049 (afgerond)
       
  b. Bij apart meten kost het 5 • 150 = 750 euro.

In groepjes meten geeft kans 0,049 dat de tweede monsters getest moeten worden, en in dat geval zijn er 6 metingen gedaan dus zijn de totale kosten 6 • 150 = 900 euro.
De kans is 1 - 0,049 = 0,951 dat de tweede monsters niet getest hoeven te worden , in dat geval was er maar 1 meting nodig en zijn de koster 150 euro.
De gemiddelde kosten (verwachtingswaarde) zijn dus  900 • 0,049 + 150 • 0.951 = 186,75 euro.

Dat is een besparing van 750 - 186,75 = 563,25 euro.
       
  c. Groepjes van n geeft kans  0,99n dat er maar ιιn meting nodig is (alles schoon) en dus kans  1 - 0,99n dat alle tweede monsters gemeten moeten worden. In dat geval zijn er n + 1 metingen nodig.
Het gemiddelde aantal metingen voor n monsters is dus 
0,99n • 1 + (1 - 0,99n)•(n + 1) = 0.99n + n  + 1 - n • 0,99n - 0,99n = n + 1 - n • 0,99n
Per monster is dat (delen door n):  1 + (1/n) - 0,99n  metingen
De kosten zijn per meting 150 euro, dus totaal wordt dat  150 + 150/n - 150•0,99n  en daar komt nog 20 euro voor het nemen van de grondmonsters bij.
Samen in totaal 170 + 150/n - 150•0,99n
       
  d. Voer in:  Y1 = 170 + 150/n - 150•0,99n  en kijk in de tabel.
Dat geeft een minimum bij n = 11 van 49,3356..... euro
       
34. a. waaghals:   P(prijs) = P(++) = 2/3 • 1/2 = 1/3 dus de verwachtingswaarde is 6 • 1/3 + 0 • 2/3 = 2 euro
angsthaas:  P(prijs) = 2/3  dus de verwachtingswaarde is  3• 2/3 + 0• 1/3 = 2 euro
       
  b. De kans dat een waaghals niets krijgt is 2/3 en voor een angsthaas is dat 1/3
2/3 van de waaghalzen is  2/3 • 0,65 • 500 = 216,666  dus ongeveer 217 mensen
1/3 van de angsthazen is  1/3 • 0,35 • 500 = 58 mensen.
samen zijn dat  217 + 58 = 275 mensen.
       
35. a. 4 euro winst betekent een uitbetaling van 34 euro.
Dat betekent dat je 12-12-5-5 hebt gedraaid.
De kans daarop is  (1/4)2 • (3/4)2 • (4 nCr 2) = 0,210938
       
  b.
winst in euro -10 -3 4 11 28
kans 0,3164 0,4291 0,2109 0,0469 0,0039
    De verwachtingswaarde is  -10 • 0,3164 + -3 • 0,4291 + 4 • 0,2109 + 11 • 0,0469 + 28 • 0,0039 = -2,9826
Dat is dus geen eerlijk spel
       
  c. P(geld verliezen) = 0,3164 + 0,4291 = 0,7455
Dit is binomiaal met n = 100 en p = 0,7455
P(X < 60) = P(X £ 59) = binomcdf(100, 0.7455, 59) = 0,00048
       
36. a P(WWZ) = 4/7 • 3/6 • 3/5 = 6/35
Er zijn drie zulke mogelijkheden (WWZ, WZW, ZWW) dus de totale kans wordt 3 • 6/35 = 18/35
       
  b. P(winst) = P(2 of 3 euro) = 18/35 + 4/35 = 22/35
P(minstens 10 keer winst) = P(X ≥ 10) = 1 - P(X ≤ 9) = 1 - binomcdf(16, 22/35, 9) = 0,6208
       
  c. tabel voor de uitkering per keer:  
   
uitkering kans
0 1/35
1 12/35
2 18/35
3 4/35
 
    De verwachtingswaarde daarvan is  0 • 1/35 + 1 • 12/35 + 2 • 18/35 + 3 • 4/35 = 60/35 = 1,71
maar de inleg is 1,75 en dat is meer dan de verwachte opbrengst, dus maakt de speelhal winst.
       
37. a. Van alle 36 (6 • 6) mogelijkheden met 2 stenen zijn er 6 manieren waarop Peter wint (namelijk  11, 22, 33, 44, 55, 66) Dus er zijn 30 manieren waarbij Quinten wint.
De kans dat hij wint is daarom 30/36 = 5/6
       
  b. Quinten wint als er vijf keer NIET dubbel wordt gegooid,  dus NNNNN
De kans daarop is  5/6 • 5/6 • 5/6 • 5/6 • 5/6 = (5/6)5 = 0,4019
Dat is inderdaad kleiner dan 0,5.
       
  c. Zie de kansboom hiernaast.
P = Peter wint, Q = Quinten wint.
De kans op P is steeds 1/6 en op Q steeds 5/6.
De rode getallen geven het aantal worpen.

P(1) = 1/6
P(2) = 5/6 • 1/6 = 5/36
P(3) = 5/6 • 5/6 • 1/6 = 25/216
P(4) = 5/6 • 5/6 • 5/6 • 1/6 = 125/1296
P(5) = 5/6 • 5/6 • 5/6 • 5/6 • 1/6 + 5/6 • 5/6 • 5/6 • 5/6 • 5/6 = 625/1296

De verwachtingswaarde is dan 
E = 1•1/6  + 2•5/36 + 3•25/216 + 4•125/1296 + 5•625/1296 = 3,6

       
38.
punten 0 1 2 3
kans 0,383
= 0.0549		 0,382 • 0,62 • 3
= 0,2686		 0,38 • 0,622 • 3
= 0,4382		 0,623
= 0,2383
uitbetaling 0 1 3 6
       
  a. de verwachte uitbetaling is  1 • 0,2686 + 3 • 0,4382 + 6 • 0,2383 = 3,013
de verwachte winst is  3,013 - 3,50 = -0,487
       
  b. noem de trefkans p:
(1 - p)2 • p • 1 + (1 - p) • p2 • 3 + p3 • 8 = 3,50
voer deze formule in bij Y1
Y2 = 3,50
intersect levert  p = 0,8012
       
39.
aantal kop 0 1 2 3 4 5
kans 0,03125 0,1875 0,28125 0,28125 0,1875 0,03125
       
  Omdat de kansen op KOP en MUNT gelijk zijn, is  P(4 kop) = P(1 kop) = 0,1875
en ook P(5 kop) = P(geen kop) = 0,03125
Omdat alle kansen samen 1 moeten zijn is dan P(2kop) + P(3 kop) = 1 - 0,03125 - 0,1875 - 0,03125 - 0,1875 = 0,5625, dus elke is  0,5625/2 = 0,28125
       
40.
bedrag 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
kans dat het lukt 35/36 33/36 3036 26/36 21/36 15/36 10/36 6/36 3/36 1/36
       
  De verwachtingswaarde bereken je als volgt:  bij het bedrag 6 krijg je  26/36 • 6 + 10/36 • 2 = 176/36
Dat geeft:
       
 
bedrag 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
verwachtingswaarde 107/36 138/36 162/36 176/36 177/36 162/36 142/36 120/36 99/36 82/36
       
  7 ogen noemen geeft de grootste verwachtingswaarde, namelijk 177/36 = €4,92
       
41. a. Voor de bovenste getallen moet je er 8 kiezen uit de 20, en dat kan op 20 nCr 8 = 125970 manieren.
Van de onderste getallen moet je er ιιn kiezen en dat kan  op 4 manieren.

In totaal zijn er 125970 • 4 = 503880 manieren om negen getallen te kiezen.
De kans op alle negen goed is dus  1/503880 = 0,00000198
Dat is inderdaad ongeveer 0,000002
       
  b. De verwachte uitbetaling is de verwachtingswaarde van deze tabel.
0,0687766 • 1 + 0,073351 • 2 + 0,024450 • 6 + .... + 0,000002 • 10000 = 0,67 euro
De winstverwachting is de verwachte uitbetaling min de inleg van 1 euro, dus dat is  0,67 - 1 = -0,33 euro
       
  c. Het aantal uitbetalingen is binomiaal verdeeld met  n = 100 en p = 0,011003
P(X = 5) = binompdf(100, 0.011003, 5) = 0,0042
       
  d. 4 juiste uit A aankruisen  van de 8 aangewezen getallen kan op  8 nCr 4 = 70 manieren.
4 foute daarna van de 12 niet-aangewezen getallen kan op  12 nCr 4  495 manieren  
Dus in totaal geeft dat 70 • 495 = 34650  manieren om op deze manier een prijs te krijgen.

Je kunt ook een prijs krijgen bij  5, 6, 7 of 8 getallen uit A goed, en bij elk van dezen zijn er 4 mogelijkheden om B te kiezen (die doet er namelijk niet meer toe).
5 getallen:   (8 nCr 5) • (12 nCr 3) • 4 =  49280
6 getallen:  (8 nCr 6) • (12 nCr 2) • 4 = 7392
7 getallen:  (8 nCr 7) • (12 nCr 1) • 4 = 384
8 getallen:  (8 nCr 8) • (12 nCr 0) • 4 = 4

Het totaal aantal manieren is dan  34650 + 49280 + 7392 + 384 + 4 = 91710 manieren om een prijs te krijgen.
Dat zijn inderdaad bijna 100000 manieren.
       
42. je gooit 1:
P(5 euro) = 0,5,  P(0 euro) = 0,5.
Gemiddelde levert dat  0,5 • 5 + 0,5 • 0 = 2,5 euro

je gooit 2:
P(0 euro) = 0,2 en  P(5 euro) = 0,6 en  P(10 euro) = 0,2
Gemiddelde levert dat  0,6 • 5 + 0,2 • 10 = 5 euro

je gooit 3:
P(0 euro) = 0,05 en  P(5 euro) = 0,45  en  P(10 euro) = 0,45  en  P(15 euro) = 0,05
Gemiddeld levert dat  0,45 • 5 + 0,45 • 10 + 0,05 • 15 = 7,50 euro

je gooit 4:
P(5 euro) = 0,2  en  P(10 euro) =  0,6  en  P(15 euro) = 0,2
Gemiddeld levert dat  0,2 • 5 + 0,6 • 10 + 0,2 • 15 = 10 euro

je gooit 5:
P(10 euro) = 0,5  en  P(15 euro) = 0,5
Gemiddeld levert dat  0,5 • 10 + 0,5 • 15 = 12,5 euro

je gooit 6:  dat levert altijd 15 euro op.

Totaal gemiddelde:  1/6 • 2,5 + 1/6 • 5 + 1/6 • 7,5 + 1/6 • 10 + 1/6 • 12,5 + 1/6 • 15 = €8,75  

       
43. niet spelen:  gemiddelde E = 0

ιιn bal  P(5) = 6/14  en  P(-4) = 8/14  dus  E = -1/7

twee ballen:   P(21) = 6/14 • 5/13 = 15/91 en  P(-4) = 76/91  dus  E = +11/91

Je kunt het best steeds twee ballen pakken!
       
44. a. P(5000) = P(2000-3000) + P(3000-2000) = 1/4 • 1/2 + 1/2 • 1/4 = 1/4
       
  b. Hoe groot is de kans dat kandidaat 2 over de 7000 gaat?
       
   

       
    Dat is bij de groene takken zo.
1/4 • 1/4 • 1/4 + 1/4 • 1/2 • 1/2 + 1/4 • 1/2 • 1/4 + 1/2 • 1/4 • 1/2 + 1/2 • 1/4 • 1/4 + 1/2 • 1/4 + 1/4 • 1/2 + 1/4 • 1/4 
=  1/64 + 1/16 + 1/32 + 1/16 + 1/32 + 1/8 + 1/8 + 1/16
= 33/64
= 0,515625
       
  c. als hij nu stopt:
P(5000) = 0,516  en  P(0) = 0,484  dus de verwachtingswaarde is  €2580

als hij doorspeelt:
P(7000) = 1/4  en  P(0) = 3/4  dus de verwachtingswaarde is €1750

Hij kan het best nu stoppen.
       
45. a. Uit de tabel vind je dat  p = 0,02 (bij 60 en 10), dus dat geeft de volgende kansverdeling:
       
   
Kosten (in euro) wanneer de riem niet vervangen wordt 0 2200
Kans 0,98 0,02
       
    De verwachtingswaarde is  0 • 0,98 + 2200 • 0,02 = 44
Dat is minder dan 505 euro dus ze zal de riem niet laten vervangen.
       
  b. Zonder vervanging zijn de verwachte kosten 2200p  (zie vraag 3))
Dat moet gelijk zijn aan 505
2200p = 505  geeft  p = 0,229
Kijk in de tabel bij 70 (ze heeft intussen 70000 km gereden)
Bij 14000 km of meer kan ze de riem beter vervangen.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)