© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. un =  6un-1 - 8un-2    met    u0 = 2 en  u1 = 3
De karakteristieke vergelijking  wordt  g2 - 6g  + 8 = 0
(g - 4)(g - 2) = 0
g = 2  ∨  g = 4
Algemene oplossing:   un = A • 2n + B • 4n
u0 = 2  geeft  2 =  A + B  dus  B = 2 - A
u1 = 3  geeft  3 = 2A + 4B
3 = 2A + 4(2  - A)
3 = 2A + 8 - 4A
-5 = -2A
A = 21/2   en dan is  B = 2 - 21/2 = -1/2
Dat geeft  un  = 21/2 • 2n - 1/2 • 4n 
       
  b. un = 21/2un - 1 - un - 2   met   u0 = 1 en  u1 = 20
De karakteristieke vergelijking wordt :   g2 - 21/2g +1 = 0
(g - 2)(g - 1/2) = 0
g = 2  ∨  g = 1/2
Algemene oplossing:  un = A • 2n + B • (1/2)n 
u0 = 1  geeft  1 = A + B   ofwel  B = 1 - A
u1 = 20 geeft  20 = 2A + 1/2B
20 = 2A + 1/2(1 - A)
20 = 2A + 1/2 - 1/2A
191/2 = 11/2A
A = 13  en dan is B = 1 - 13 = -12
Dat geeft  un = 13 • 2n - 12 • (1/2)n 
       
  c. un = -9un-1 - 18un-2  met  u0 = -4 en  u1 = 3
De karakteristieke vergelijking wordt   g2 + 9g + 18 = 0
(g + 3)(g + 6) = 0
g = -3  ∨  g = -6
Algemene oplossing:  un = A • (-3)n + B • (-6)n  
u0 =  -4  geeft  A + B = -4  dus  B = -4 - A
u1 = 3 geeft  3 = -3A - 6B
3 = -3A - 6(-4 - A)
3 = -3A + 24 + 6A
-21 = 3A
A = -7  en dan is  B = -4 - - 7 = 3
Dat geeft  un = -7 • (3)n  + 3 • (-6)n
       
  d. un = -4un -1 + 5un-2  met   u0 = 1 en  u1 = 0
De karakteristieke vergelijking wordt:  g2 + 4g - 5 = 0
(g - 1)(g + 5) = 0
g = 1 ∨  g = -5
Algemene oplossing:  un = A • 1n + B • (-5)n
u0 = 1  geeft   1 = A + B  dus  B = 1 - A
u1 = 0  geeft   0 = A - 5B
0 = A - 5(1 - A)
0 = A - 5 + 5A
5 = 6A
A = 5/6  en dan is  B = 1 - 5/6 = 1/6
Dat geeft  un =  5/6 • 1n + 1/6 • (-5)n  
       
2. a. un = un - 1 + un - 2  met  u0 = u1 = 1  
       
  b De karakteristieke vergelijking wordt:  g2 - g - 1 = 0
ABC-formule:   g = (1 ±√(1 + 4))/2 = 1/2  ± 1/2√5
Algemene oplossing:   un = A • (1/2 + 1/2√5)n    +   B • (1/2 - 1/2√5)n 
u0 = 1  geeft  A + B = 1  dus  B = 1 - A
u1 = 1 geeft  A • (1/2 + 1/2√5) + B • (1/2 - 1/2√5) = 1
A • (1/2 + 1/2√5) + (1 -  A) • (1/2 - 1/2√5) = 1
A • (1/2 + 1/2√5) + (1/2 - 1/2√5) - A • (1/2 - 1/2√5) = 1
A • √5 = 1 - 1/2 + 1/2√5
A • √5 = 1/2 + 1/2√5
A =    (½ + ½√5)/√5 =  ½/√5  + 1/2  = 1/10√5 + 1/2
dan is  B = 1 -  A = -1/10√5 + 1/2
Dat geeft  un = (1/10√5 + 1/2) • (1/2 + 1/2√5)n  -  (1/10√5 - 1/2) • (1/2 - 1/2√5)n
       
3.  un = 0 • un - 1 +  un-2  met  u0 = 2 en u1 = 4
Karakteristieke vergelijking   g2 - 1 = 0
g = 1  ∨  g = -1
Algemene oplossing:   un = A • 1n + B • (-1)n
u0 = 2  geeft   2 = A + B  dus  B = 2 - A
u1 = 4  geeft  4 =  A - B
4 = A - (2 - A)
4 = A - 2 + A
6 = 2A
A = 3  en dan is  B = 2 - 3 = -1
Dat geeft  un = 3 • 1n  - 1  (-1)n
u2009 =  3 • 12009 - 1 • (-1)2009 = 3 - - 1 = 4
       
4. a.  un = aun-1 + bun-2 
De karakteristieke vergelijking wordt   g2 - ag - b = 0
Als a + b = 1  dan is  b = 1 - a  en dan is de vergelijking   g2 - ag - 1 + a = 0
g = 1  geeft  1 - a - 1 + a = 0  en dat klopt inderdaad.   
       
  b. Noem de twee oplossingen van de karakteristieke vergelijking  1 en  g
Algemene oplossing:   un = A • 1n + B • gn 
1n = 1 voor elke n  dus dat wordt  un = A + B • gn    
       
  c. un = 1 + 3 • 2n 
De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn kennelijk   g = 1  en  g = 3
(g - 1)(g - 3) = g2 - 4g + 3
Dat gaf als recursievergelijking   un = 4un - 1 - 3un - 2
u0 = 1 + 3 • 20 =  4  en  u1 = 1 + 3 • 21 = 7
Samen:   un = 4un - 1 - 3un - 2   met  u0 = 4  en u1 = 7
       
5. a. un = -4un-1 - 8un-2  met  u0 = 2 en u1 = -4
Karakteristieke vergelijking is   g2 + 4g + 8 = 0
g =  (-4 ± √(-16))/2 =  -2 ± 2i 
-2 + 2i =  √8 • e0,75πi 
Algemene oplossing:   un =  A • (√8)n • cos(3/4πn) + B • (√8)n • sin(3/4πn)

u0 = 2  geeft   2 = A
u1 = -4  geeft dan    -4 = 2 • √8 • -1/2√2  +  B • √8 • 1/2√2
-4 = -4 + B • 2  geeft  B = 0
Dat geeft  un = 2(√8)n • cos(3/4πn)
       
  b. un =  2un-1 - 4un-2  met  u0 = 5 en  u1 = 8
Karakteristieke vergelijking is  g2 - 2g + 4 = 0
g = (2 ± √(-12))/2 = (2 ± 2√(-3))/2 = 1 ± i√3
1 + i√3 =  2 • eπi/3 
Algemene oplossing:   un = A • 2n • cos(1/3πn) + B • 2n • sin(1/3πn)

u0 = 5  geeft  5 =  A • 1 • 1  + B • 0  dus  A = 5
u1 = 8  geeft dan  8 =  5 • 2 • 1/2  +  B • 2 • 1/2√3
8 = 5 + B√3  geeft  B = √3
Dat geeft  un =  5 • 2n •  cos(1/3πn) +  √3 • 2n • sin(1/3πn)
       
  c. un = 2un-1 - 6un-2  met  u0 = u1 = 1
Karakteristieke vergelijking:  g2 - 2g + 6 = 0
g = (2 ± √(-20))/2 = (2 ± 2i√5)/2 =  1 ± i√5
1 + i√5 = Ö6 • e1,15πi
Algemene oplossing:   un = A • (√6)n • cos(1,15πn) + B • (√6)n • sin(1,15πn)

u0 = 1  geeft  A • 1 • 1 + B • 1 • 0 = 1  dus  A = 1
u1 = 1  geeft dan    1 •  √6 • cos1,15  + B • √6 • sin1,15 = 1
Dat geeft  B = 0
Dat geeft      un = (√6)n • cos(1,15πn)
       
6. Als de karakteristieke vergelijking gelijk is aan  g2 + ag + b = 0  dan is  b = 0  als de oplossingen geheel imaginair zijn.
Dus  de differentievergelijking is van de vorm  un  = b • un - 2 
g  = ci =  r • e0,5πi 
De algemene vergelijking is dan    un = A • rn cos(1/2πn) + B • rn sin(1/2πn)
u0 = A
u1 = Br
u2 = -Ar2
u3 = -Br3
enz.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)