Nieuwe pagina 1

Examenopgaven

VWO WA12

VWO WA1

2001 - II opg. 10 + 11

2006 - I opg. 4

2006 - II opg. 20

OPGAVEN

In een klaslokaal zitten 23 leerlingen.
Hoe groot is de kans dat er minstens 2 op dezelfde dag jarig zijn?

In een schooljaar krijg je 100 proefwerken.
Je spiekt bij elk proefwerk omdat de kans dat je betrapt wordt toch maar slechts 0,1% is.
Hoe groot is de kans dat jij dit jaar betrapt gaat worden?

OPLOSSING

Bereken de kans dat ze allemaal op een verschillende dag jarig zijn:
De eerste doet er niet toe, de tweede moet op een andere dag jarig zijn, de derde weer, enz.
Dat geeft kans 1 • ³⁶⁴/₃₆₅ • ³⁶³/₃₆₅ • ³⁶²/₃₆₅ • ... • ³⁴³/₃₆₅ = 0,4927
De kans minstens twee op dezelfde dag jarig is dan 1 - 0,4927 = 0,5073

De kans op NIET betrapt worden is per keer 0,999
Voor 100 keer is dat 0,999¹⁰⁰ =0,9048
De kans op wel betrapt worden is dan 1 - 0,9048 = 0,0952

Complementregel

Soms zijn problemen met kansbomen wel erg veel werk om op te lossen. Neem het volgende voorbeeld:

De kans dat een trein vertraging heeft is 46%
Hoe groot is dan de kans dat van de 6 treinen er minstens 2 vertraging hebben?

De kansboom wordt redelijk groot, en ook het aantal gunstige takken is nogal groot:

We moeten alle groene takken uitrekenen!!!
Maar wacht eens even....
Als we nou de rode uitrekenen, dat is veel minder werk, want daar zijn er maar 7 van.
Dan weten we de totale kans op de groenen ook, want samen hebben de roden en de groenen kans 1 (100%) natuurlijk.
Dit heet de complementregel:

P(A) = 1 - P(niet-A)

In dit geval is A = minstens 2 vertraging en niet-A = 0 of 1 vertraging.
P(0) vertraging = P(NNNNNN) = 0,54⁶ = 0,0248
P(1 vertraging): één tak heeft kans 0,54⁵ • 0,46 = 0,0211 maar er zijn 6 zulke takken, dus de kans wordt 6 • 0,0211 = 0,1267
Dus P(niet-A) = 0,0248 + 0,1267 = 0,1515
Dan is P(A) = 1 - 0,1515 = 0,8485

Denk vooral aan deze regel bij woorden als "minstens", "hoogstens", "meer dan" e.d.