Nieuwe pagina 1


OPGAVEN

1.	P is een punt van de grafiek van f(x) = Ö(9 - x) met domein [0,9] Q is de projectie van P op de x-as Wat is de maximale oppervlakte van driehoek OPQ?

2.	Uit het papier hiernaast (60 bij 80) wordt een doosje met deksel gemaakt door de zwart vierkantjes weg te knippen. Wat is de grootste inhoud die dat doosje kan krijgen?



OPLOSSING

1.	Noem P het punt (a, b) dan is Q = (a, 0) De basis van de driehoek is OQ en heeft lengte a De hoogte van de driehoek is QP en heeft lengte Ö(9 - a) De oppervlakte is dan O = ¹/₂ • a • Ö(9 - a) Is maximaal als O'= 0 Þ ¹/₂ • Ö(9 - a) + ¹/₂ • a • ¹/₂ •(9 - a)^-0,5 • -1 = 0 Þ ¹/₂ • Ö(9 - a) = ¹/₄ • a • (9 - a)^-0,5 vermenigvuldig beide kanten met Ö(9 - a): ¹/₂ •(9 - a) = ¹/₄ • a Þ 18 - 2a = a Þ a = 6 O(6) = 3Ö3 » 5,20

2.	Stel de vierkantjes x bij x Dan is de lengte van het doosje 60 - 2x Dan is de breedte van het doosje ^{(80 - 3x)}/₂ = 40 - 1,5x Dan is de hoogte van het doosje x De inhoud is dan I = x(60 - 2x)(40 - 1,5x) = 2400x - 170x² + 3x³ I '(x) = 2400 - 340x + 9x²I'(x) = 0 Þ x » 28,38 V x » 9,40 en deze laatste is de goede oplossing. Invullen geeft I » 10031 cm³

Een formule maken...

Er zijn twee mogelijke manieren van aanpak om een formule te maken of om aan te tonen dat een gegeven formule juist is.

Methode 1.

1. maak een algemene formule met je eigen letters.
2. zorg dat er één letter in staat.

stap 2 is meestal de moeilijkste. Als je meerdere letters (bijv. p en q) in je formule hebt ga je op zoek naar een extra verband of gegeven tussen p en q dat je nog niet hebt gebruikt.
Dat schrijf je dan als p = ..... of q = ..... en vervang daarmee p of q in de formule. Zo raak je een letter kwijt.

voorbeeld
een raampje bestaat uit een halve cirkel en een rechthoek. De omtrek is 4 meter. Hoe moet je de afmetingen kiezen zodat er zoveel mogelijk licht door het raampje komt?

De oppervlakte moet maximaal

O = l•b + 0,5pr²

uit de figuur volgt b = 2r dus O = 2lr + 0,5pr²extra voorwaarde: 2l + 2r + pr = 4 Þ l = 2 - r - 0,5pr
invullen geeft O = 2(2 - r - 0,5pr)r + 0,5pr²Þ O = 4r - r² (2 + 0,5p)

Daarmee is de formule gemaakt.

Methode 2

Stel dat je een formule voor P als functie van q moet maken.
Kies dan voor q gewoon een getal en probeer P te berekenen.
Schrijf deze berekening aan de linkerkant van je papier.
Schrijf nu ernaast aan de rechterkant precies dezelfde berekening, maar vervang overal jouw gekozen getal door de letter q.
Dat geeft je een formule....

voorbeeld (van hierboven)

neem r = 0,5 dan is b = 2 • 0,5 = 1 omtrek is 2l + 1 + 0,5p = 4 dus l = 2 - 0,5 - 0,25p dus O = (2 - 0,5 - 0,25p ) • 1 + 0,5p • 0,5²	neem r = r dan is b = 2r omtrek is 2l + 2r + r p = 4 dus l = 2 - r - 0,5rp dus O = (2 - r - 0,5rp) • 2r + 0,5p r²

OPTIMALISEREN

Als je eenmaal een formule met één letter hebt kun je eenvoudig het maximum of minimum ervan opsporen door de afgeleide gelijk aan nul te stellen.