HAVO WA, 1989 - II

 

OPGAVE 1.
       
Bij een helderziendheidstest wordt een stapel van 25 kaarten gebruikt, waarin elk van onderstaande kaarten vijf keer voorkomt.
       

       
De kaarten worden goed geschud en vervolgens worden er drie kaarten tegelijk uit de stapel getrokken. De proefpersonen moeten voorspellen welke kaarten getrokken zullen worden.

Een proefpersoon raadt op goed geluk dat er 2 sterren en 1 cirkel worden getrokken.
       
  1. Bereken de kans dat zijn 'voorspelling' uitkomt.
       
OPGAVE 2.
         
Treinreizigers die op het station te U. uitstappen, kunnen de uitgang van het station alleen bereiken via een voetgangerstunnel. De tunnel is 30 meter lang en 3 meter breed. De snelheid van de voetgangersstroom in de tunnel is afhankelijk van de drukte. Een maat voor de drukte is het gemiddeld aantal m2 per voetganger.
Deze maat noemen we de module.

Op een zeker moment bevinden zich 120 mensen in de tunnel die allen in de richting van de uitgang lopen.
         
  2. Bereken in deze situatie de module.    
         
Het verband tussen de snelheid van de voetgangersstroom (V) en de module (M) wordt gegeven door de formule:
De grafiek bij deze formule staat hier onder.
         

         
  3. Bereken de module bij een snelheid van 50 m/min. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
         
Wanneer een voetganger ongehinderd kan lopen, is zijn snelheid ongeveer 5 km/uur.
         
  4. Onderzoek of dat in overeenstemming is met de formule.
         
Er bestaat een verband tussen de waarde van M en het aantal voetgangers dat per minuut de tunnel verlaat (=N). Het verband tussen M en N staat grafisch weergegeven in de volgende figuur.
         

         
  5. Schat zo nauwkeurig mogelijk hoeveel mensen er per minuut de tunnel verlaten in het geval dat de snelheid van de voetgangersstroom 70 m/min is. Geef in de twee grafieken hierboven aan hoe je aan je antwoord bent gekomen.
         
Een belangrijk gegeven bij het ontwerpen van een tunnel is het maximaal aantal mensen dat in korte tijd kan worden verwerkt.
         
  6. Bij welke snelheid is het aantal voetgangers dat per minuut de tunnel verlaat maximaal? Licht je antwoord toe.
         
OPGAVE 3.
         
De woningen in een stad worden onderscheiden in koop- en huurwoningen. Om te komen tot een goed woningbeleid heeft de gemeente gegevens verzameld over de verhuizingen binnen de stad. Deze gegevens staan vermeld in de onderstaande 'verhuismatrix':

         
Uit de matrix kan bijvoorbeeld worden afgelezen dat van alle huishoudens die vanuit een koopwoning zijn verhuisd, 80% opnieuw naar een koopwoning en 20% naar een huurwoning zijn gegaan.

Bij de beantwoording van de vragen in deze opgave moet je gebruik maken van deze matrix.

In een bepaalde periode verhuizen binnen de stad 2000 huishoudens vanuit een koopwoning en 1500 vanuit een huurwoning.
         
  7. Hoe zijn die 3500 huishoudens aan het eind van die periode verdeeld over koop- en huurwoningen?
         
Op grond van de verhuismatrix trekt iemand de conclusie dat er een groter aantal huishoudens van huurwoning naar koopwoning verhuist dan van koopwoning naar huurwoning.
         
  8. Ben je het eens met deze conclusie? Licht je antwoord toe.
         
Eind 1988 zijn er in de stad 10000 koopwoningen (de 'koopsector') en 20000 huurwoningen (de 'huursector') bewoond. Een gemeenteambtenaar verwacht dat in de komende tijd vanuit elk van beide sectoren jaarlijks 10% van de huishoudens binnen de stad zal verhuizen. Hij neemt aan dat het totaal aantal huishoudens in de stad niet verandert in de komende jaren.
         
  9. Bereken de behoefte aan huur- en koopwoningen aan het eind van 1990 volgens de verwachting van de gemeenteambtenaar.
         
Bekijk opnieuw de situatie van eind 1988.
De gemeenteambtenaar beweert dat het voor het gemeentelijke woningbeleid eenvoudiger zou zijn als binnen de stad jaarlijks 15% van de huishoudens vanuit de koopsector en 5% vanuit de huursector verhuist.
         
  10. Waarom zou dat voor het woningbeleid eenvoudiger zijn?
         
OPGAVE 4.
         
Ieder jaar zijn de Nederlandse bungalowparken in het pinksterweekend volgeboekt. Huurders van bungalows dienen dus tijdig te reserveren.

De eigenaar van een bungalowpark met 16 bungalows weet uit ervaring dat gemiddeld 1 op elke 5 huurders niet komt opdagen. Daarom besluit hij meer huurders in te schrijven dan er bungalows zijn. Hij loopt dan wel het risico op overbezetting, namelijk als er meer huurders komen opdagen dan er bungalows beschikbaar zijn.

Stel dat hij 19 huurders inschrijft.
         
  11. Bereken voor dit geval de kans op overbezetting.
         
Natuurlijk is het vervelend om in geval van overbezetting huurders te moeten teleurstellen. De eigenaar wil daarom dat de kans op overbezetting niet groter is dan 10%.
         
  12. Hoeveel huurders mag hij maximaal inschrijven voor de 16 bungalows? Licht je antwoord toe.
         
OPGAVE 5.
         

         
Een deel van de inspanning die een zwemmer levert gaat helaas verloren aan het in beweging brengen van het water. Het overige deel van de inspanning wordt gebruikt om vooruit te komen.

De situatie kan als volgt in een formule worden beschreven:   It = Iv + Iw
waarbij
  It = de totale geleverde inspanning
  Iv = de inspanning die gebruikt wordt om vooruit te komen.
  Iw = de inspanning die verloren gaat aan het in beweging brengen van het water.
         
Voor zwemdeskundigen is het interessant om te weten hoe voor verschillende zwemmers de verhouding tussen Iv,  Iw, en It is. Hoe goed een zwemmer zijn inspanning verdeelt wordt uitgedrukt in een getal. Dit getal R noemt men het rendement en wordt berekend met onderstaande formule:

         
  13. Laat zien dat de formule inderdaad een lagere waarde van R oplevert, naarmate de zwemmer zijn inspanning slechter verdeelt.
         
Bij een universitair onderzoek naar prestaties bij borstcrawl werden meetgegevens verzameld over de inspanning van 6 wedstrijdzwemmers en 5 triathleten (een triathleet is een deelnemer aan de triathlon, een wedstrijd die bestaat uit een zwem- een fiets- en een loopgedeelte. Bij het onderzoek werd alleen gekeken naar de zwemprestaties van de triathleet).
De meetgegevens staan in onderstaande tabel:
         
wedstrijdzwemmer (zw)
triathleet (tr)		 It Iv Iw R f
aantal slagen
per seconde		 d
afgelegde afstand
per slag (in m)
A(zw)
B(zw)
C(zw)
D(zw)
E(zw)
F(zw)
G(tr)
H(tr)
I(tr)
J(tr)
K(tr)		 87,2
103,9
58,6
89,4
66,3
74,3
87,1
79,2
80,3
51,6
61,1		 53,4
54,8
41,3
52,9
46,6
52,4
40,6
36,1
42,2
21,2
23,4		 33,8
49,1
17,3
36,5
19,7
21,9
46,5
43,1
38,1
30,4
37,7		 0,61
0,53
0,70
0,59
0,70
0,71
0,47
0,46
0,53
0,41
0,38		 1,09
1,03
0,87
0,81
0,76
1,20
1,06
1,02
0,83
0,96
0,78		 1,08
1,14
1,35
1,45
1,54
0,98
0,98
0,98
1,20
0,78
1,00
         
In de figuur hieronder is een grafische presentatie gemaakt van het resultaat. Langs de assen zijn Iw en Iv uitgezet.
Elk van de onderzochte personen wordt voorgesteld door een punt in de grafiek.
         

         
  14. Bij welk van de personen A t/m K hoort het punt dat door een pijl is aangegeven?
         
De resultaten worden in drie categorieën verdeeld:
  categorie I:      R ≤ 1/2
  categorie II:    1/2 < R < 2/3
categorie III:   R ≥ 2/3
         
  15. Teken in bovenstaande figuur de grenzen van de gebieden die bij deze categorieën horen en leg uit hoe je die grenzen gevonden hebt.
         
  16. Bereken voor de wedstrijdzwemmers de gemiddelde waarde van It en de gemiddelde waarde van R. Doe hetzelfde voor de triathleten.
         
  17. Welke conclusie kun je uit de antwoorden van vraag 16 trekken?
         
In de tabel staan voor elk van de onderzochte personen ook het aantal slagen per seconde (f) en de afgelegde afstand per slag (d) vermeld. Bij het onderzoek werd door ieder 300 meter gezwommen.
Volgens de tabel leverden de personen A en G vrijwel dezelfde totale inspanning. Toch zwom A sneller dan G.
         
  18. Hoeveel seconden deed G langer over de 300 meter dan A?
         

 

 

UITWERKING
   
1. 0,022
   
2. 0,75
   
3. 0,65
   
4. M = 7
   
5. 144
   
6. 40 m/min
   
7. 2050 koop en 1450 huur
   
8.  
   
9. 19220 en 10780
   
10.  
   
11. 0,2369
   
12. max. 18
   
13.  
   
14. zwemmer E
   
15.  
   
16. 79,95 en 0,64
71,86 en 0,45
   
17.  
   
18. 34 sec.