Nieuwe pagina 1

OPGAVE 1. Weerbeleving

Aan bezoekers van het Nederlandse strand is op een aantal dagen gevraagd hoe zij het weer beoordelen. Omdat dagen met neerslag door vrijwel iedereen als onaangenaam worden ervaren, heeft men zich bij de enquête beperkt tot droge dagen. Factoren die dan nog een rol spelen bij de beoordeling zijn onder andere: temperatuur, (mate van) bewolking en windsnelheid. Het onderzoek heeft geleid tot onderstaand diagram met waarderingscijfers.

		Diagram voor het bepalen van de aangenaamheid van droog weer. Horizontaal staat de windsnelheid op 10 meter hoogte en verticaal de bedekkingsgraad van de hemel in achtsten (geheel bewolkt is dus 8 achtsten). De kromme lijnen geven het waarderingscijfer, dat loopt van 0 - 10. Bij een windsnelheid van 18 km/uur en een halfbewolkte hemel zou men het weer dus cijfer 7 geven. Het grafiekje rechtsboven geeft de temperatuurcorrectie op dit cijfer aan. Als het bijv. 18 graden is, dan moet men 0,4 bij het waarderingscijfer optellen; bij 12 graden moet er één punt af.

1.	Voor welke temperatuur kun je de waarderingscijfers rechtstreeks uit het diagram aflezen?

In het zomerseizoen spreekt men van een recreatiedag als het waarderingscijfer 7 of hoger is. Op een dag is het 20 graden, half bewolkt en de windsnelheid is 20 km/uur.

2.	Is er sprake van een recreatiedag? Licht je antwoord toe.

Het weerbericht luidt: licht tot half bewolkt (2 achtste tot 4 achtste), windsnelheid 15 tot 25 km/uur.

3.	Hoe hoog moet de temperatuur zijn wil men met zekerheid kunnen spreken van een recreatiedag? Licht je antwoord toe.

In het diagram zie je dat de kromme lijnen die bij de waarderingscijfers horen in de hoek links beneden bijna horizontaal lopen.

4.	Welke gevolgtrekking kun je hieruit maken?

OPGAVE 2. Beleggen.

Na een grote en een kleine beurscrisis is de belegger 'risicobewuster' geworden. Aandelen leveren weliswaar een hoger rendement dan een spaarrekening, maar ze zijn ook een stuk riskanter. Onder rendement wordt hier verstaan de procentuele toename van het belegde kapitaal per jaar.
In een prospectus van een beleggingsmaatschappij worden twee mogelijke beleggingsfondsen aangeboden, waarbij gegevens over het risico worden verstrekt . Zie de volgende tabel.

Fonds	Gemiddeld rendement	Rendement met 95% kans tussen
A B	5,7% 7,0%	2,9% en 9,5% -0,7% en 14,7%

Bij de opgave van de mogelijke afwijking met een kans van 95% gaat de maatschappij uit van de normale verdeling.
Ga bij de beantwoording van de vragen 5 en 6 uit van deze verdeling.

Bereken de standaardafwijking van het rendement bij fonds A

Bereken bij fonds B de kans op een negatief rendement.

In onderstaande figuur zie je een bundel grafieken. Elke grafiek laat de groei van een kapitaal van f 10.000,- zien bij een vast rentepercentage.
Op de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt.

Lees uit de figuur af na hoeveel jaar het kapitaal verdubbeld is bij een rendement van 8% per jaar.

Iemand belegt een kapitaal van f 10.000,- gedurende 10 jaar.
Stel dat hij de eerste vijf jaar een rendement van 14% (per jaar) behaalt, en de daarop volgende 5 jaar 4% (per jaar)

Geef in bovenstaande figuur aan hoe de grafiek van de groei van het kapitaal in dit geval verloopt.

Brengt het de belegger meer op in vergelijking met de vorige situatie indien het rendement de eerste vijf jaar 4% is en de volgende vijf jaar 14%? Licht je antwoord toe.

OPGAVE 3. Linkshandigheid.

Bij de gezondheidsenquête van 1985, uitgevoerd door het Centraal Bureau voor de Statistiek, waren vragen opgenomen over linkshandigheid. Uit deze representatieve steekproef, die ongeveer 9000 personen omvatte, bleek dat 11,8% van de mannelijke bevolking en 9,6% van de vrouwelijke bevolking linkshandig is.
Je mag aannemen dat het links- of rechtshandig zijn niet van invloed is op de keuze van een huwelijkspartner.

10.

Bereken het verwachte percentage echtparen in Nederland waarvan beide partners rechtshandig zijn.

Bij het onderzoek is van de linkshandige meisjes en jongens in de leeftijdscategorie 10-20 jaar ook nog nagegaan hoe het zit met de links- of rechtshandigheid van de ouders. Het resultaat daarvan staat in de volgende tabel.

	een van de ouders of beide ouders linkshandig	beide ouders rechtshandig
aantal meisjes linkshandig	32	72
aantal jongens linkshandig	40	96

Een linkshandige jongen en een linkshandig meisje (uit bovengenoemde leeftijdscategorie) beginnen een relatie. Na verloop van tijd maken de ouders van beide kinderen kennis met elkaar. Die ouders blijken alle vier rechtshandig te zijn.

11.

Is het uitzonderlijk dat van twee linkshandige kinderen (van verschillend geslacht) de 4 ouders rechtshandig zijn?
Beantwoord deze vraag met behulp van kansrekening.

Neem nu aan dat 10% van de schoolgaande meisjes linkshandig is.
Voor een schoolhandbalteam melden zich 9 meisjes. Bij het aanmelden speelt links- of rechtshandigheid geen rol.

12.

Bereken de kans dat er zich onder deze 9 meisjes precies twee linkshandige speelsters bevinden.

OPGAVE 4. Parkeeronderzoek.

Een van de methoden om inzicht te verkrijgen in aantallen parkeringen en parkeerduren in een bepaald gebied is het middel van kentekenonderzoek. Met vaste tussenpozen (het waarnemingsinterval) worden daarbij de kentekens van de geparkeerde auto's geregistreerd. Het aantal achtereenvolgende malen dat een auto is geregistreerd (registratiefrequentie) levert een schatting op van de parkeerduur per auto, terwijl het aantal verschillende auto's dat is geregistreerd een schatting oplevert van het aantal parkeringen.
Zo'n parkeeronderzoek is gehouden te Heerlen en de resultaten daarvan staan in de volgende tabel.

registratie- frequentie	auto's	geschatte parkeerduur (in min.)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	5247 1804 753 359 287 443 290 165 115	60 120 180 240 300 360 420 480 540
	totaal 9463	gemiddeld 133

frequentieverdeling van het aantal achtereenvolgende malen dat geparkeerde auto's zijn geregistreerd.

Waarnemingsinterval: 60 min.
Eerste waarneming: 9:30 uur
Laatste waarneming: 17:30 uur
Parkeerterrein open: 8:30 - 18:30

Van 1804 auto's is de registratiefrequentie 2. De geschatte parkeerduur van elk van die auto's (bij die parkering) is 120 minuten. De werkelijke parkeerduur kan natuurlijk langer of korter zijn.

13.

Hoe lang is de werkelijke parkeerduur op zijn hoogst?

In de tabel staat dat het gemiddelde van de geschatte parkeerduur 133 minuten is.

14.

Leg uit hoe je dat gemiddelde met de overige gegevens uit de tabel kunt uitrekenen.

De hier beschreven onderzoeksmethode levert een schatting van de gemiddelde parkeerduur per auto op die hoger is dan de werkelijke gemiddelde parkeerduur per auto.

15.

Leg uit wat daarvan de oorzaak kan zijn.

Er is onderzoek gedaan naar het verband tussen P (= de gemiddelde geschatte parkeerduur per auto) en P_w (= de gemiddelde werkelijke parkeerduur per auto)
Een formule die het verband tussen P en P_w bij een waarnemingsinterval van 60 minuten benadert is:

16.

Bereken P voor het geval P_w = 100

17.

Beredeneer dat uit de formule volgt: hoe groter P_w hoe groter P.

OPGAVE 4. Codes op een schijf.

Een machineonderdeel is voorzien van een schijf met een aantal ringvormige sporen. Elk spoor is verdeeld in vakjes. De helft van de vakjes is voorzien van elektrisch geleidend materiaal. In figuur 1 hieronder zie je een voorbeeld van zo'n schijf met 4 ringen en 16 vakjes per ring.



De schijf bevat 16 sectoren. In de figuur zijn de sectoren aangegeven met letters. Elke sector bestaat uit 4 vakjes. Als de lichte vakjes met het cijfer 0 en de donkere vakjes met het cijfer 1 worden aangegeven, komt elke sector overeen met een rijtje van 4 cijfers. Bijvoorbeeld: a = 0000, b = 0001, c = 0010, enz. De volgorde van de cijfers is dus van binnen naar buiten. Elke tweetal sectoren verschilt op tenminste één plaats. Het aantal verschillen noemt men de afstand tussen die sectoren. In onderstaande figuur zie je een graaf van de sectoren a, b, ..., p. Alleen tussen "buursectoren" zijn lijnen getrokken. De afstanden tussen de buursectoren a en b en tussen b en c zijn aangegeven in de figuur.

18.	Geef de afstanden van de andere paren buursectoren aan in onderstaande graaf.



De schijf draait en wordt afgetast door een zogenaamde sensor. Door middel van elektrische stroompjes kan bij elke stand van de schijf het codewoord (bestaande uit enen en nullen) van de onderliggende sector worden afgelezen. Bij het aflezen kunnen fouten worden gemaakt wanneer de sensor precies boven de grens tussen twee buursectoren staat. In de volgende figuur zie je daarvan een voorbeeld.



Neem aan dat (in een stand zoals in figuur B) bij elk scheiding tussen twee buurvakjes naar willekeur één van de twee vakjes wordt afgelezen.

19.	Hoeveel verschillen de codewoorden kunnen er in de stand van figuur B door de sensor worden afgelezen?

Bij de schijf van de figuur boven aan deze opgave zijn er standen van de sensor op de grens van twee buursectoren, waarbij in principe alle zestien mogelijke codewoorden kunnen worden afgelezen.

20.	Aan welke voorwaarden moeten die buursectoren dan voldoen en bij welke standen van de sensor is dat zo?

Hieronder zie je een andere verdeling van de geleidende vakjes over de schijf.



21.	Leg uit waarom bij deze laatste figuur het aantal mogelijk foute aflezingen tot een minimum is beperkt.

22.	Ontwerp zelf zo'n schijf met 3 ringen en 8 vakjes per ring waarbij alle sectoren verschillend zijn en het aantal mogelijke afleesfouten tot een minimum beperkt is. Teken je ontwerp in onderstaande figuur.



Op de schijf van de figuur direct boven opgave 21 zijn sectoren te vinden waarvan de helft van de vakjes geleidend is (bijvoorbeeld sector e). Er kan ook een schijf worden gemaakt met 6 ringen waarop alle mogelijke codewoorden van 6 cijfers (nullen en/of enen) een plaats krijgen. Ook op deze schijf zijn er sectoren te vinden waarvan de helft van de vakjes geleidend is.

23.	Hoeveel van deze sectoren zijn er op de schijf met 6 ringen? Licht je antwoord toe.

UITWERKING

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

HAVO WA, 1991 - II