HAVO WA, 1993 - I

 

OPGAVE 1.  Water.
       
De totale hoeveelheid water op aarde is 1400000000 km3.
Hoewel de zeeën ruim 97% van al het water op aarde bevatten, het land 2,7% en de atmosfeer slechts 0,001%, spelen de waterstromen tussen deze drie een belangrijke rol in het milieu op aarde. Waar we hier spreken over water bedoelen we ook andere vormen van water zoals waterdamp, ijs en sneeuw.
Een volledige beschrijving van alle waterstromen is zo ingewikkeld dat men vaak kiest voor en vereenvoudigd model. In onderstaande figuur zijn voor zo'n model de verschillende waterstromen in beeld gebracht.
       

       
De grootte van de stromen in dat model is weergegeven in de volgende matrix. De gegevens zijn ontleend aan het boek 'Earth' van Press en Siever.
       

       
Zo stroomt er dus jaarlijks 46 duizend km3 water van land naar zee.
       
4p. 1. Teken een graaf  met de punten Land, Zee en Atmosfeer en zet de juiste getallen bij de pijlen.
       
Als de hoeveelheid water op het land na een jaar gelijk gebleven is, en dat geldt ook voor de hoeveelheid water in de zee en de hoeveelheid water in de atmosfeer, dan is er sprake van een dynamisch evenwicht.
       
3p. 2. Laat zien dat hier sprake is van dynamisch evenwicht.
       
Als de omstandigheden zich ingrijpend zouden wijzigen, bijvoorbeeld door ontbossing  of klimaatveranderingen, moet het model worden aangepast.
Stel dat de waterstroom van land naar zee toeneemt van 46 naar 51 en dat de verdamping vanuit zee 459 wordt. De waterstroom van zee naar land blijft 0 en de totale neerslag uit de atmosfeer blijft 518 (alles in duizenden km3 per jaar). Er moet weer een dynamisch evenwicht zijn.
       
6p. 3. Stel een matrix en een graaf op bij dit nieuwe model. Zet in de graaf de getallen bij de pijlen.
       
OPGAVE 2.  Selecteren in het onderwijs.
         
Meer dan 20 jaar geleden signaleerde Professor Posthumus dat ieder jaar ongeveer een kwart van de leerlingen op de scholen van voortgezet onderwijs aan het eind van het schooljaar niet werd bevorderd. Een citaat:
         
"Ieder schooljaar wordt in iedere klasse opnieuw één vierde gedeelte der leerlingen op de scholen teruggewezen. Deze toestand schijnt reeds langer dan een halve eeuw te bestaan"
         
Volgens Posthumus wordt op scholen het begrip 'ongeschikt' als volgt omschreven:  "Het kwart van de leerlingen met de laagste scores is 'ongeschikt' ".
We werken in deze opgave met deze omschrijving van 'ongeschikt' en noemen de 25% leerlingen met de hoogste scores 'goed' en de resterende 50% 'middelmatig'

In de volgende tabel staan de resultaten van een examen..
         
score frequentie cumulatieve
frequentie
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55		 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
2
5
0
2
3
4
2
8
4
6
6
10
12
19
17
7
11
8
12
11
18
17
16
22
23
26		 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
2
3
4
5
6
6
8
13
13
15
18
22
24
32
36
42
48
58
70
89
106
113
124
132
144
155
173
190
206
228
251
277
 
score frequentie cumulatieve
frequentie
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
 		 19
19
25
28
25
28
37
30
19
26
29
25
29
21
22
25
20
13
15
15
13
10
5
12
10
11
9
10
4
9
5
6
3
4
7
4
3
2
3
2
0
2
1
0
1		 296
315
340
368
393
421
458
488
507
533
562
587
616
637
659
684
704
717
732
747
760
770
775
787
797
808
817
827
831
840
845
851
854
858
865
869
972
874
877
879
879
881
882
882
883
 
         
Een leerling hoort bij dit examen tot de categorie 'middelmatig'.
         
4p. 4. Welke scores kan hij behaald hebben? Licht je antwoord toe.
         
Vaak lijkt de verdeling van de scores bij een examen sterk op de normale verdeling. Stel dat voor een zeker examen de scores inderdaad bij benadering normaal verdeeld zijn met een gemiddelde van 62 en een standaardafwijking van 12.
         
6p. 5. Bereken voor dat examen bij welke (gehele) scores een leerling tot de categorie 'middelmatig' behoort.
         
We bekijken nu een school met een vierjarige opleiding. Elk jaar begint een gelijk aantal leerlingen aan het eerste leerjaar. Aan het eind van het eerste, tweede of derde leerjaar kun je 'overgaan' of 'blijven zitten' en aan het eind van het vierde leerjaar kun je slagen of zakken voor het examen. Je mag op deze school tijdens je gehele schoolloopbaan maar één keer een klas overdoen als je blijft zitten of zakt voor het examen. Als zoiets de tweede keer gebeurt moet je de school (zonder diploma) verlaten.
Hieronder zie je in een boomdiagram de schoolloopbaan  OOZOO  van een leerling die in het derde leerjaar is blijven zitten en na vijf jaar de opleiding met een diploma heeft afgesloten.
Hierbij betekent:
O :  'gaat over' of 'haalt het diploma'
Z :  'blijft zitten' of 'zakt voor het examen'
         

         
6p. 6. Geef in deze figuur alle mogelijke schoolloopbanen aan, ook die waarbij een leerling voortijdig de school moet verlaten. Geef daarbij het moment dat de leerling de school (met of zonder diploma) verlaat aan met een vierkantje om de laatste letter.
         
We nemen in een kansmodel voor deze situatie aan dat elke leerling van de school aan het eind van elk leerjaar dezelfde kans heeft om te blijven zitten of te zakken voor het examen. We stellen die kans op 25%.
         
4p. 7. Laat zien dat volgens dit model ruim 30% van de leerlingen die in het eerste examenjaar beginnen vier jaar later het diploma haalt.
         
We kijken nu in het kansmodel uitsluitend naar de groep leerlingen die de opleiding met een diploma hebben verlaten.
         
7p. 8. Hoeveel procent van deze leerlingen heeft vijf jaar over de opleiding gedaan ? Licht je antwoord toe.
         

 

OPGAVE 3.  Diersoorten.
 
Het lijkt aannemelijk dat er een verband bestaat tussen de oppervlakte van een gebied en het aantal verschillende diersoorten dat in dat gebied voorkomt. Een theorie hierover stelt dat het aantal verschillende diersoorten op een eiland in een bepaalde klimaatzone alleen afhankelijk is van de oppervlakte van het eiland.
In deze opgave kijken we naar de verschillende soorten reptielen op eilanden in het Caraïbisch gebied.

Onderzoekers telden op vele eilanden het aantal verschillende soorten reptielen (S). In de onderstaande figuur zijn de gegevens van enkele eilanden weergegeven.

 
Volgens de theorie is het verband tussen de oppervlakte A van een eiland (in vierkante mijlen) en het aantal soorten reptielen S op dat eiland te beschrijven met de formule: S = 3 · A0,30
De lijn in de bovenstaande figuur is de grafiek die bij deze formule hoort.

Op het eiland Jamaica zijn meer soorten reptielen aangetroffen dan op grond van de theorie (de formule) verwacht mag worden.
         
4p. 9. Hoeveel soorten reptielen zou een even groot eiland volgens de theorie hebben? Licht je antwoord toe.
         
Binnen de theorie geldt als ruwe regel:  "Bij een 10 keer zo groot eiland vinden we 2 keer zoveel diersoorten".
         
4p. 10. Laat zien dat dit uit de formule volgt.
         
Op een groot eiland worden veel verschillende soorten reptielen met uitsterven bedreigd. Men wil maatregelen nemen om de natuur beter te beschermen. Daarbij moet er een keuze worden gemaakt uit twee mogelijkheden:
         
a. oprichting van 1 groot natuurreservaat met een oppervlakte van 400 vierkante mijlen.
b. oprichting van 2 kleinere reservaten, elk met een oppervlakte van 200 vierkante mijlen.
         
Dergelijke natuurreservaten liggen geïsoleerd in de bewoonde wereld en kunnen als 'eilanden' beschouwd worden. Voor het schatten van het aantal soorten reptielen dat in zo'n reservaat zal voorkomen kan de formule S = 3 · A0,30 gebruikt worden.
Of voor a. of b. gekozen wordt is mede afhankelijk van het aantal soorten dat de twee kleinere reservaten gemeen zullen hebben. Men neemt aan dat er 8 soorten reptielen zijn die zowel in het ene als het andere kleine reservaat zullen voorkomen.

Men wil de mogelijkheid kiezen waarbij in totaal zoveel mogelijk verschillende soorten reptielen zullen voorkomen.
         
6p. 11. Welke van de twee mogelijkheden zal men kiezen? Licht je antwoord toe.
         

 

OPGAVE 4.  Ruilverkaveling.
         
In het dorp Groenoord hebben 200 inwoners elk een eigen landbouwbedrijf. In de volgende tabel zijn deze bedrijven naar grootte in 4 groepen verdeeld. Van elke groep is de gemiddelde bedrijfsgrootte bepaald. Bovendien is elke groep voorzien van een kleurcode. Ga er in het vervolg van uit dat elk bedrijf een grootte heeft die precies gelijk is aan het gemiddelde van de betreffende groep.
         
gemiddelde
bedrijfsgrootte		 kleurcode aantal
2 ha oranje 65
12 ha rood 95
30 ha blauw 37
90 ha groen 3
         
Voor een goede bedrijfsvoering is het belangrijk dat alle landbouwgrond van één eigenaar dicht bij de bedrijfsgebouwen ligt. Bij ruilverkaveling probeert men door onderling ruilen de verspreid liggende stukken grond (kavels) te vervangen door één kavel.
Alle 200 eigenaren komen in een zaal van restaurant 'Den Hommel' bijeen om te stemmen over een voorstel tot ruilverkaveling.

Eerst wordt door middel van loting een stemcommissie gevormd. De stemcommissie bestaat uit 2 van de 200 eigenaren.
         
4p. 12. Bereken de kans dat bij een willekeurige loting rood niet in de stemcommissie is vertegenwoordigd. Geef je antwoord in drie decimalen.
         
Nu kan over het voorstel tot ruilverkaveling gestemd worden.
Elke eigenaar stemt voor of tegen het voorstel en vermeldt op zijn stembriefje bovendien zijn kleurcode.

Voor het bepalen van de uitslag van de stemming heeft de overheid de volgende procedure voorgeschreven:
         
  Eerst wordt het aantal voorstemmers vergeleken met het aantal tegenstemmers. Is het aantal voorstemmers groter dan het aantal tegenstemmers, dan is het voorstel aangenomen. Is dat niet het geval, dan worden de stembriefjes opnieuw bekeken.
Men bepaalt dan aan de hand van de kleurcodes de totale oppervlakte van de bedrijven van de voorstemmers. Is die oppervlakte groter dan de totale oppervlakte van de tegenstemmers, dan is het voorstel alsnog aangenomen; zo niet, dan is het verworpen.
         
Stel dat de stemming in Groenoord verloopt zoals aangegeven in de volgende tabel.
         
kleur oranje rood blauw groen
aantal voorstemmers 5 50 22 3
aantal tegenstemmers 60 45 15 0
         
4p. 13. Ga na of het voorstel tot ruilverkaveling in Groenoord dan is aangenomen of afgewezen. Licht je antwoord toe.
         
De stemprocedure bij de ruilverkaveling maakt het mogelijk dat bij minder dan 50% voorstanders de ruilverkaveling toch wordt aangenomen. In de situatie van Groenoord is uit te zoeken met hoe weinig voorstemmers de ruilverkaveling toch aangenomen zou kunnen worden.
         
7p. 14. Wat is het kleinste aantal voorstemmers waarbij de ruilverkaveling in Groenoord kan worden aangenomen? Licht je antwoord toe.
         

 

OPGAVE 5.  Waterverbruik in de V.S.
         
Overal op aarde is de behoefte aan schoon water groot. Niet alleen voor huishoudelijk gebruik (o.a. drinkwater) maar vooral voor niet-huishoudelijk gebruik  (landbouw en industrie) is heel veel water nodig.
Deze opgave gaat over het waterverbruik in de Verenigde Staten vanaf 1950. In de onderstaande figuur staan de gegevens over het totale waterverbruik (T) en de grootte van de bevolking (B) van de V.S. Je kunt er bijvoorbeeld uit aflezen dat in 1980 het totale waterverbruik ongeveer 1680 miljard liter per dag bedroeg, en dat de bevolking in dat jaar ongeveer 230 miljoen mensen telde.
         

         
4p. 15. Laat zien dat het totale jaarverbruik in 1975 gemiddeld ongeveer 2,6 miljoen liter water per inwoner was.
         
Het aantal liters in vraag 15 is erg groot. Dat komt vooral door het niet-huishoudelijke waterverbruik.
In 1950 was het totale waterverbruik (700 miljard liter per dag) opgebouwd uit 625 miljard liter water voor niet-huishoudelijk gebruik en 75 miljard liter per dag voor huishoudelijk gebruik.
         
In de figuur hiernaast zie je een toenamendiagram van het waterverbruik per dag in de V.S. voor niet-huishoudelijk gebruik. Je kunt er o.a. in aflezen dat het niet-huishoudelijk waterverbruik in 1970 150 (miljard liter per dag) hoger was dan in 1965.
     
7p. 16. Onderzoek of het niet-huishoudelijk verbruik als percentage van het totale waterverbruik in 1980 hoger was dan in 1950
     
Hoe zal het waterverbruik zich in de volgende eeuw ontwikkelen? Bij een onderzoek in 1980 schatte men dat de toename van het totale waterverbruik elke vijf jaar zou liggen tussen 110 en 200 (miljard liter per dag)
         
5p. 17. Arceer in onderstaande figuur het gebied waarbinnen het totale waterverbruik per dag volgens deze veronderstelling in de periode 1980 tot 2020 zal liggen.
         
 

         
De onderzoekers verwachten dat er niet onbeperkt aan die toenemende waterbehoefte kan worden voldaan. Zij verwachten dat er maximaal 5000 (miljard liter per dag) beschikbaar zal zijn.
         
5p. 18. Tussen welke twee jaartallen zal volgens de veronderstellingen van de onderzoekers het moment vallen waarop dit maximum bereikt wordt? Licht je antwoord toe.
         

 

 

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.